Vecteur

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Deux vecteurs u, v et le vecteur somme

Cet article concerne le vecteur en tant qu' être mathématique. Pour les autres significations du mot, voir la page d'homonymie Vecteur (homonymie)

En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'information que les nombres usuels, ou scalaires, et sur lequel on peut effectuer des opérations simples.

À l’origine, un vecteur est un objet de la géométrie euclidienne. À deux points, Euclide faisait seulement correspondre leur distance. Or un couple de points porte une charge d'information bien plus grande. Ils définissent aussi une direction et un sens. Le vecteur synthétise l'ensemble de ces informations.

La notion de vecteur peut être définie en dimension 2 (vecteur du plan), 3 (vecteur de l'espace euclidien usuel). Elle se généralise à des espaces de dimension n, ou à des espaces de dimension infinie. C'est sur cette notion, devenue abstraite et introduite par un système d'axiomes, que se fonde la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire.

Le vecteur est, en physique, ce qui permet de modéliser des grandeurs qui ne peuvent être complètement définies par un nombre seul ou une fonction numérique seule. Par exemple, pour préciser une vitesse, une force, un champ électrique, il faut aussi connaître la direction et le sens. Les vecteurs s’opposent aux grandeurs scalaires qu’on peut décrire par un simple nombre, comme la masse, la température, la densité, etc.

[modifier] Le vecteur en mathématiques

La notion de vecteur comporte de nombreuses acceptions en mathématiques. Le tableau suivant regroupe les principaux types de vecteurs :

	Espace affine	Espace vectoriel	Espace tensoriel
Cas Général	bipoints	vecteurs (algébriques ou purs)	vecteurs affines
Espaces normés	segments orientés	vecteurs normés	.
Espaces euclidiens	vecteurs liés	vecteurs géométriques ou libres	vecteurs euclidiens

Historiquement, la notion de vecteur a d’abord été introduite en physique, dans le cadre de la mécanique classique. À l’époque, les vecteurs étaient définis par opposition aux grandeurs scalaires, et étaient caractérisés par quatre propriétés :

leur intensité, ou norme, ou module, ou grandeur, ou encore longueur;
leur direction;
leur sens
et éventuellement leur origine.

Tout être possédant ces quatre propriétés était étiqueté vecteur. Par la suite, il s’est avéré que certains de ces « vecteurs », appelés par la suite « pseudo-vecteurs » ou « vecteurs axiaux », possédaient ces quatre propriétés sans être de véritables vecteurs (voir ci-dessous « Usage abusif »). C’était cependant des tenseurs, comme les vecteurs eux-mêmes.

Comme la mécanique classique modélise l’espace physique par un espace affine euclidien, les géomètres ont ensuite récupéré la notion. Ils l’ont quelque peu précisée en distinguant trois sortes de vecteurs :

les vecteurs liés, dont l’origine est fixe;
les vecteurs glissants, dont l’origine est astreinte à rester sur la droite affine support de la direction du vecteur;
et les vecteurs libres, qui n’ont pas d’origine fixe.

D’autre part, à la suite du choc consécutif à la découverte des géométries non-euclidiennes, qui impliquait qu’il existait non pas une mais plusieurs géométries, puis des efforts de formalisation de ces géométries, les géomètres se sont aperçus :

qu’ils pouvaient construire une géométrie sans longueurs ni angles : la géométrie affine; l’espace euclidien apparaissait alors comme un cas particulier d’espace affine;
puis une géométrie pure des vecteurs, sans faire appel aux points : la géométrie vectorielle; ils ont constaté qu’à tout espace affine, était associé un espace vectoriel, ensemble de vecteurs libres obtenus comme abstraction des vecteurs liés.

A ce stade, les algébristes ont pris la relève et ont redéfini axiomatiquement les notions d’espace vectoriel et d’espace affine, et ont reconstruit à partir de là l’algèbre linéaire (prolongée par l’algèbre multilinéaire et l'algèbre tensorielle). Ils ont profité de l’existence de la géométrie projective, qui fait de l’espace affine un hyperplan d’un espace vectoriel afin d’en simplifier l’étude, pour faire de la notion d’espace affine un appendice de celle d’espace vectoriel (regardez comment est défini actuellement un espace affine). Ils ont ensuite décrété que seuls les éléments d’un espace vectoriel avaient droit au titre de vecteur (ce qui n’était pas une mauvaise chose en soi, les « vecteurs » de tous types ayant proliféré). Dès lors :

les « vecteurs liés » n’étaient plus que des bipoints;
les « vecteurs glissants » disparaissaient (le sujet était jugé trop...glissant);
les « vecteurs libres » étaient promus au rang de « vrais » vecteurs.

Aujourd’hui, quand on emploie le terme de « vecteur » sans autre précision, il s’agit en principe de l’élément d’un espace vectoriel.

[modifier] Le vecteur en géométrie euclidienne

On peut se représenter un vecteur libre comme une flèche dont l’emplacement dans le plan n’a pas d’importance, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. Pour être plus précis, on définit les bipoints comme étant des couples de points (l’ordre ayant une importance) ; deux bipoints représentent le même vecteur s’ils définissent des segments parallèles entre eux, de même longueur et de même orientation. Pour être plus rigoureux, le vecteur est une « classe d’équivalence de bipoints équipollents » : les bipoints(A,B) et (C,D) sont équipollents si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

On peut définir des opérations sur ces vecteurs, qui, bien que portant des noms utilisés initialement pour les nombres, sont en fait des constructions géométriques : la multiplication d’un vecteur par un scalaire, la somme de deux vecteurs, le produit scalaire ou vectoriel de deux vecteurs... Par ailleurs, on peut, comme à tous les objets géométriques, leur appliquer les transformations classiques : rotation, projection, homothétie...

Les vecteurs sont souvent notés par une lettre avec une flèche au-dessus, par exemple <math>\vec{u}</math> ; dans certains ouvrages, on note les vecteurs en caractère gras, par exemple u. Si le bipoint (A,B) est un des représentants du vecteur, alors on peut noter le vecteur <math>\vec{AB}</math>. La longueur du vecteur s’appelle la norme, et ce en mettant le vecteur entre deux traits verticaux de chaque côté, <math>||\vec{u}||</math> (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB).

Si deux bipoints (A,B) et (C,D) représentent le même vecteur (c’est-à-dire sont équipollents), on peut alors écrire :

Le vecteur nul est le vecteur dont les représentants sont de type (A,A) (les deux points du bipoint sont confondus) ; il est noté <math>\vec{0}</math>. Il est de longueur nulle, <math>||\vec{0}|| = 0</math>

Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.

L’angle que forment deux vecteurs <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> est noté <math>(\widehat{\vec{u},\vec{v}})</math> ; il est mesuré en amenant l’origine des deux vecteurs en un point et en mesurant l’angle que font les segments. Si (A,B) est un représentant de <math>\vec{u}</math> et (A,C) un représentant de <math>\vec{v}</math>, alors

<math>(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \widehat{BAC}</math>

On définit en général une base dans le plan ou dans l’espace, qui permet de définir le vecteur par ses composantes (l’équivalent des coordonnées pour les points dans un plan ou un espace muni d’un repère). On utilise en général deux notations différentes :

<math>\vec{u} = \begin{pmatrix}

x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix} \ {\rm ou\ bien} \ \mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}</math> Les composantes représentent la longueur des projections du vecteur sur les trois axes de la base. Le tableau des composantes d’un vecteur dans une base est appelé vecteur-colonne.

L’utilisation des vecteurs en géométrie euclidienne forme la géométrie vectorielle. On définit en particulier des constructions géométriques particulières, c’est-à-dire la construction d’un vecteur à partir de deux vecteurs, ou bien d’un vecteur et d’un scalaire ; ces constructions ayant des propriétés similaires aux opérations sur les nombres (commutativité, distributivité, présence d’un élément neutre ou absorbant), elle sont de fait appelées et notées de la même manière. On parle ainsi de somme de vecteurs, du produit d’un vecteur par un nombre, de produit vectoriel...

[modifier] Définition générale

Par extension, tous les objets ayant les mêmes propriétés algébriques que ces vecteurs géométriques sont appelés vecteurs ; c’est le cas par exemple des polynômes, des fonctions périodiques, des matrices, des nombres réels, complexes et hypercomplexes (quaternions, octonions)... Ceci a amené à la définition de la notion abstraite d'espace vectoriel.

La définition générale, en mathématiques, d’un vecteur est donc : « élément d’un espace vectoriel ».

Un vecteur est un cas particulier de tenseur ; si c’est un véritable vecteur, alors c’est un tenseur d’ordre 1.

[modifier] Usage en physique

La notion mathématique de vecteur est plus vaste : elle se réfère à un niveau d’abstraction plus élevé, et se dispense de nombreuses propriétés contraignantes, dont le physicien peut difficilement se passer. Pour le physicien, le vecteur décrit un phénomène, par exemple une translation. Le physicien est donc lié par une sémantique, dont le mathématicien ne se soucie pas.

[modifier] Usages abusifs

Pour des raisons historiques qui datent du XIX^e siècle (les quaternions de Hamilton, en 1843), l’habitude s’est prise chez les physiciens d’appeler aussi « vecteurs » des êtres de rotation, tenseurs antisymétriques d’ordre 2. Tels sont notamment les champs magnétiques H et B, le moment magnétique, le moment d’un couple de forces, la vitesse angulaire, la vitesse aréolaire, le moment angulaire (appelé généralement en français « moment cinétique »). Or ces grandeurs tensorielles du second ordre ont un comportement opposé à celui des vrais vecteurs dans toutes les symétries, et leur comportement dimensionnel dans les changements de base est lui aussi incompatible. Voir l’article de Pierre Curie (1894) à ce sujet, Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d’un champ électrique et d’un champ magnétique, résumée dans Journal de Physique, 3e série, t.III, 1894, p.393. Réimpression dans Œuvres de Pierre Curie, pp. 118-141, Éditions des Archives Contemporaines, Paris 1984.

La mécanique a mis longtemps à faire la part entre les propriétés des forces, et celles des solides indéformables auxquelles ces forces étaient tacitement appliquées. De là découlent de nombreuses définitions successives et incompatibles - certains vieux manuels changeaient de définition et d’acception toutes les trois pages - : « vecteurs glissants », « vecteurs liés », torseurs, etc. Ces trois dernières acceptions sont liées aux solides indéformables, et désignent des descripteurs mécaniques qui sont autre chose que des vecteurs : ils contiennent aussi une droite d’application ou un point d’application, ou une droite d’application plus un couple non coplanaire à la droite.

[modifier] Usage en informatique

Tout espace vectoriel de dimension finie a une base. Le nombre n de vecteurs constituant la base est appelé dimension de l’espace. Dans cette base, les vecteurs peuvent être représentés chacun par un n-uplet de nombres souvent appelé vecteur-colonne (voir plus haut). De là, l’habitude a été prise en informatique d’appeler vecteur tout tableau de nombres à une dimension, puis tout tableau à une dimension.

Bien entendu, il s’agit d’une hérésie du point de vue mathématique :

un vecteur-colonne a pour éléments des nombres, alors qu’un vecteur-tableau informatique peut contenir tout autre chose;
un vecteur-tableau informatique peut être disposé aussi bien en ligne qu’en colonne, alors qu’en principe, en mathématiques, les vecteurs-lignes représentent les « pseudos-vecteurs » et les vecteurs-colonnes sont réservés à la représentation des « vrais » vecteurs;
lors d’un changement de base :
- les vrais vecteurs demeurent inchangés, alors que les vecteurs-colonne les représentant sont transformés;
- les pseudos-vecteurs changent de sens, et les vecteurs-lignes les représentant sont transformés;
- les vecteurs-tableaux de l’informatique ne sont absolument pas tenus de suivre ces règles.