Trigonométrie complexe
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[modifier] Extension des fonctions circulaires
Dans le corps des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :
- <math>\sin z = \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {2i} = \frac {\sinh iz} {i} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k+1}} {(2k+1)!}}</math>
- <math>\cos z = \frac {e^{iz} + e^{-iz}} {2} = {\cosh iz} = \sum _{k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^k z^{2k}} {(2k)!}}</math>
- <math>\tan z = \frac {\sin z} {\cos z} = -i \frac {\sinh iz} {\cosh iz} = -i \tanh iz = -i \frac {e^{iz} - e^{-iz}} {e^{iz} + e^{-iz}}</math>
De même que leurs fonctions réciproques :
- <math>\arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt { 1-z^2} \right) </math>
- <math>\arccos z = -i \ln \left( z + \sqrt {z^2-1} \right)</math>
- <math>\arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 - iz) - \ln(1+iz) \Big)</math>
