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Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit. On nomme alors hypoténuse le côté opposé à l'angle droit.

[modifier] Propriétés

• Théorème de Pythagore : si l'on considère un triangle rectangle ABC rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents, soit :

BC² = AC² + AB²

Cliquer sur le lien pour avoir l'illustration et la démonstration

• Dans un triangle ABC rectangle en A, si M est le milieu de l'hypoténuse [BC], la longueur de la médiane AM de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Commençons par une démonstration purement géométrique :

Par définition de la médiane, M   est le milieu de [BC]   .

Le triangle rectangle ABC   est un demi-rectangle ABCD   .

Un rectangle est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu,

donc M , milieu de [BC]   , est aussi celui de [AD]  .

Les diagonales d'un rectangle sont de longueur égales, donc AD = BC  

et AM = AD / 2 = BC / 2 .

Cela peut aussi se démontrer en faisant appel aux vecteurs :

<math>\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} / 2 \,</math>   et   <math>\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\,</math> ,   d'où :   <math>\vec{AM} = (\vec{AB} + \vec{AC}) / 2 \,</math>,

Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc :     AM ² = (AB ² + AC ²)/4

D'autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient :   BC ² = AB ² + AC ²

Et finalement :   AM = BC / 2

• Autre propriété

Soit un triangle ABC rectangle en A comme précédemment, et soit AB > AC, alors : BC = AC √([AB / AC]² + 1)

Cette formule permet de calculer directement une racine carrée simplifiée.

propriété du cercle cirsconscrit

Si on trace un cercle cirsconscrit de centre M et que se cercle rejoint les points A,B et C alors ce triangle est un triangle rectangle.

ast:Hipotenusa bg:Правоъгълен триъгълник cs:Pravoúhlý trojúhelník eo:Orta triangulo es:Triángulo rectángulo eu:Hipotenusa gl:Triángulo rectángulo it:Triangolo rettangolo qu:Ch’uytu Seq’eq Ch’atan