Translation (géométrie)
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En mathématique, une translation de vecteur <math>\vec{u}</math> est une transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que:
- <math>\overrightarrow{MM'} = \vec{u}</math>
On dit alors que M’ est le translaté de M.
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[modifier] Géométrie « classique »
En géométrie plane et en géométrie dans l’espace, une translation se traduit par un déplacement de toute la figure sans changement ni de la direction, ni du sens, ni des longueurs.
C’est même la seule transformation qui laisse invariant les vecteurs c’est-à-dire telle que
- <math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}</math>
La composée de deux translations de vecteur <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> est une translation de vecteur <math>\vec{u}+\vec{v}</math>. La translation de vecteur nulle est l’identité. Ces propriétés confèrent à l’ensemble des translations munie de la loi de composition un statut de groupe commutatif isomorphe à l’ensemble des vecteurs du plan ou de l’espace.
Ce groupe est un sous-groupe du groupe des déplacements, du groupe des homothéties-translation, du groupe des symétries-translation, du groupe des rotations-translation.
[modifier] Généralisation à un espace affine
On définit de même une translation dans un espace affine quelconque comme la transformation qui, à tout point M associe le point M’ tel que
- <math>\overrightarrow{MM'} = \vec{u}</math>
[modifier] Expressions d’une translation
[modifier] Coordonnées cartésiennes
Dans le plan, la translation de vecteur <math>\vec{u}(a , b)</math>, transforme le point M(x , y) en M'(x' , y') tel que
- x' = x + a
- y' = y + b
Dans l’espace, la translation de vecteur <math>\vec{u}(a , b , c)</math>, transforme le point M(x , y, z) en M'(x' , y', z') tel que
- x' = x + a
- y' = y + b
- z' = z + c
Plus généralement, dans un espace de dimension n, la translation de vecteur <math>\vec{u}</math> de coordonnées <math>(a_i)_{i \in [1, n]}</math>, transforme le point <math>M(x_i)_{i \in [1,n]}</math> en <math>M'(x'_i)_{i \in [1,n]}</math> tel que
- <math>x'_i = x_i + a_i</math> pour tout i de i = 1 à n
[modifier] Expression complexe
Dans le plan complexe, la translation de vecteur <math>\vec{u}</math> d'affixe a (a complexe), transforme le point M(z) en M'(z') tel que
- z' = z + a
[modifier] Coordonnées homogènes
En travaillant avec les coordonnées homogènes, on peut définir une matrice de translation :
Dans une espace affine de dimension n, la matrice de translation de vecteur <math>\vec{u} (a_i)_{i \in [1, n]}</math> est une matrice de dimension n+1 définie par :
- <math> T_{\mathbf{v}} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 & ...&0 & a_1 \\ 0 & 1 &... &0& a_2 \\ ...&...&...&...&...\\ 0 & 0 &...& 1 & a_n \\ 0 & 0 &...& 0 & 1 \end{bmatrix} . \! </math> L'écriture de la translation devient alors
- <math> T_{\mathbf{v}} \mathbf{M} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 & ...&0 & a_1 \\ 0 & 1 &... &0& a_2 \\ ...&...&...&...&...\\ 0 & 0 &...& 1 & a_n \\ 0 & 0 &...& 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\...\\ x_n \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1+a_1 \\ x_2+a_2 \\...\\ x_n+a_n \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{M'} </math>
Cette écriture permet de créer un isomorphisme entre les matrices n+1 de cette forme et l'ensemble des translations dans un espace de dimension n.
L'inverse d'une telle matrice s'obtient en changeant la direction du vecteur:
- <math> T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \! </math>
De même, le produit des matrices revient à faire une somme de vecteurs:
- <math> T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}} . \! </math>
Et puisque l'addition des vecteurs est commutative, le groupe multiplicatif de matrices ainsi créé est un groupe commutatif.de:Parallelverschiebung en:Translation (geometry) eo:Movo (geometrio) es:Translación it:Traslazione (geometria) pl:Translacja (matematyka) pt:Translação
