Transformation complexe
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Méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, x et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans les situations complexes.
[modifier] Principe
A une grandeur :<math>g(t) \,</math>, fonction sinusoïdale du temps d'expression :
- <math>g(t) = \hat G . \sin (\omega t + \varphi ) \,</math>,
on fait correspondre un nombre complexe :<math> \underline G \,</math>
- de module : <math> G \,</math>
- d'argument : <math> \varphi \,</math>
- Notation exponentielle : <math> \underline G = \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi)}\,</math>,
- Remarque : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :
- <math> \underline G = \hat G \cdot e^{j(\varphi)}\,</math>,
- Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existance de ω pour les dérivations ou les intégrations
En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :
- <math>G =\frac {\hat G}{\sqrt{2}} \,</math>
[modifier] Opérations élémentaires
- Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.
- Dérivation
- On dérive le nombre complexe image :
- <math> \underline G = \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi)}\,</math>,
- on obtient :
- <math> \omega \cdot \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})} \,</math>,
- Intégration
- On intégre le nombre complexe image et on obtient :
- <math> \frac{1}{\omega} \cdot \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2})} \,</math>,
