Torseur
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Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu'il subit de la part d'un environnement extérieur.
Sommaire |
[modifier] Définition
Un torseur est l'expression symbolique d'un champ vectoriel équiprojectif par sa réduction en un point donné <math>P</math> de l'espace en deux vecteurs particuliers :
- La résultante du champ, notée <math>\overrightarrow{\mathcal{R}}</math>. Ce vecteur est unique et indépendant du point où le torseur est exprimé.
- Le moment en P du champ noté <math>\overrightarrow{\mathcal{M}_P}</math>.
L'ensemble des moments du champ dans tout l'espace représente le champ lui-même ; la résultante est un vecteur caractéristique du champ permettant, à partir de l'expression du moment du champ en un point particulier, de retrouver le champ en tout point. En cela, les champs de vecteurs représentables par des torseurs sont de dimension 6 (dans le cas d'un torseur exprimé dans l'espace physique de dimension 3). Cette réduction est rendue possible par le caractère équiprojectif du champ de vecteurs, celui-ci impliquant nécessairement l'antisymétrie du champ qui s'exprime à travers la relation de Varignon : <math>\overrightarrow{\mathcal{M}_P}=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}+\overrightarrow{\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{OP}</math>.
Un champ de vecteurs équiprojectif est donc pleinement défini par la connaissance de sa résultante et de son moment en un point arbitraire.
On écrit alors :
<math> \mathcal{T} =
\begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}} \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_O} \end{Bmatrix}_O </math>
ou, en projetant la résultante et le moment sur une base orthonormée <math>\mathcal{B}</math> :
<math>\mathcal{T}=
\begin{Bmatrix} X && L \\ Y && M \\ Z && N \end{Bmatrix}_{O, \mathcal{B}} </math>
où X, Y, Z sont les coordonnées de la résultante et L, M, N les coordonnées du moment.
[modifier] Exemples
- Le champ des moments d'une force (ou de la somme de plusieurs forces) par rapport à un point est un torseur, dit torseur des actions mécaniques. La résultante du torseur est la somme des forces.
- Le champ des vitesses d'un solide indéformable en un instant donné est un torseur, appelé torseur cinématique du solide. La résultante est le vecteur instantané de rotation.
- Soit <math>A</math> un point affecté d'une masse <math>m</math> et d'une vitesse <math>\vec V</math> par rapport à un référentiel donné. Si l'on choisit un point <math>P</math> quelconque, on peut définir le torseur cinétique de <math>A</math> en <math>P</math> par :
<math>\overrightarrow{L(P)} = \overrightarrow {PA} \wedge m \overrightarrow{V}</math>. Ce torseur s'appelle le torseur cinétique de <math>A</math>. Sa résultante est la quantité de mouvement <math>m \overrightarrow{V}</math> de <math>A</math>.
- On définit de même le torseur dynamique de <math>A</math> par le champ <math>\overrightarrow{PA} \wedge m\overrightarrow{a}</math> où <math>\overrightarrow{a}</math> est l'accélération de <math>A</math>. Si une force s'applique sur le point <math>A</math>, le principe fondamental de la dynamique énonce qu'il y a identité entre le torseur des forces et le torseur dynamique dans un référentiel galiléen (mécanique des solides).
- Le champ de moments nuls s'appelle le torseur nul. Il correspond à un champ de forces dans le cas statique.
- Un couple est un champ vectoriel uniforme, donc représenté par un torseur dont la résultante est nulle. Physiquement, il correspond à un torseur de forces dont la résultante est nulle.
- Un glisseur est un torseur dont le champ des moments s'annule en au moins un point. Le torseur d'une force appliquée en un point est un glisseur, le moment étant nul sur la droite servant de support à la force. Le champ de vitesse d'un solide en rotation est un glisseur. La vitesse est nulle sur l'axe de rotation. Pour un glisseur, on peut utiliser la notation <math>\mathcal {T}_{\vec R / O}</math> où <math>\vec R</math> désigne la résultante et O le point d'application où le moment est nul.
- Formulation du Principe d'Archimède :
Le torseur des forces de pression est égal et opposé au torseur des forces de gravité dans le fluide considéré.
[modifier] Propriétés des torseurs
[modifier] Equiprojectivité
Soit un torseur de résultante <math>\overrightarrow R</math> et de moment <math>\overrightarrow{\mathcal M_O}</math> en <math>O</math>. Son moment en <math>P</math> est <math>\overrightarrow{\mathcal{M}_P}=\overrightarrow{\mathcal{M}_O}+\overrightarrow{\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{OP}</math>, de sorte que, en faisant le produit scalaire par <math>\overrightarrow{OP}</math>, on obtient :
- <math>(\overrightarrow{\mathcal M_P} | \overrightarrow{OP}) = (\overrightarrow{\mathcal M_O}| \overrightarrow{OP})</math>
Cette relation s'appelle propriété d'équiprojectivité du champ. On montre que cette propriété est caractérisque des champs de torseurs. Autrement dit, si un champ de vecteurs est équiprojectif, alors il s'agit d'un champ de moments d'un torseur. C'est d'ailleurs la façon la plus fondamentale de définir un torseur.
C'est la propriété fondamentale décrivant le comportement cinématique des solides indéformables.
[modifier] Axe d'un torseur
Considérons un torseur de résultante <math>\overrightarrow R</math> non nulle. Alors on montre que les points <math>P</math> tels que <math>\overrightarrow{\mathcal M_P}</math> soit colinéaire à <math>\overrightarrow R</math> forment une droite appelée axe central d'un torseur. Cet axe central existe et est unique pour tout torseur, sauf dans le cas particulier du couple, où la résultante est nulle. Dans le cas d'un glisseur, les moments sur l'axe central sont nuls.
Pour le torseur cinématique d'un solide (dont les moments sont les vitesses des points du solide), la résultante est le vecteur instantané de rotation. Le mouvement du solide est en général la superposition d'un mouvement de rotation et d'un mouvement de translation parallèlement à l'axe de rotation instantané (vissage). Les points du solide en translation sont précisément les points de l'axe central du torseur cinématique.
[modifier] Torseurs couramment utilisés en mécanique
[modifier] Torseur statique
[modifier] Torseur cinématique
[modifier] Torseur cinétique
La composante vectorielle du torseur cinétique est constitué de l'impulsion, appelé aussi quantité de mouvement, du système. Sa composante de moment est le moment cinétique.
[modifier] Torseur dynamique
La composante vectorielle du torseur dynamique est constituée de la somme des forces appliquées au système. Sa composante de moment est la somme des moments des forces additionné des couples appliqués au système.
[modifier] Principe fondamental de la dynamique généralisé
En mécanique du solide le principe fondamental de la dynamique est généralisé pour tenir compte des couples qui peuvent agir sur un solide mais n'ont pas de contrepartie en mécanique du point. Le principe fondamental de la dynamique généralisé dit alors que le torseur dynamique du solide en un point P est égal à la somme des moments des forces exercés en ce point P. Pour la composante vectorielle du torseur on retrouve le principe fondamental de la dynamique usuel en assimilant le solide à sa masse rapportée en son centre d'inertie.
[modifier] Exemple d'utilisation
Soit une barre en équilibre (en O) sollicitée par deux forces <math>\vec {F_1}</math>(en A) et <math> \vec {F_2} </math>(en B)
D'après Newton, pour que la barre soit en équilibre il faut que la somme des forces soit nulle et la somme des moments soit elle aussi nulle.
donc
<math>\mathcal {T}_{\vec F_1} + \mathcal {T}_{\vec F_2} + \mathcal {T}_{\vec R} = \mathcal {T}_{\vec 0}</math> (torseur nul)
Cette notation est donc equivalente à:
- <math>\vec F_1 + \vec F_2 + \vec R = \vec 0</math> et
- en O: <math>\vec \mathcal M_{\vec F_1 / O} + \vec \mathcal M_{\vec F_2 / O} + \vec \mathcal M_{\vec R / O} = \vec 0</math> ou en A: <math>\vec \mathcal M_{\vec F_1 / A} + \vec \mathcal M_{\vec F_2 / A} + \vec \mathcal M_{\vec R / A} = \vec 0</math>
[modifier] Autre acception
Soit G un groupe, un G-torseur (trad. littérale de l'anglais G-torsor) désigne un ensemble sur lequel est définie une représentation biunivoque de G. Cela équivaut à donner G sans spécifier d'élément unité.
Les dates du calendrier en sont un exemple pour un groupe additif: additionner deux dates n'a aucun sens, leur différence par contre est un élément du groupe additif des jours. De même, l'énergie d'un système physique n'est définie que modulo une constante arbitraire.
La fibre d'un fibré principal est un G-torseur.
