Topologie

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En mathématiques, le terme topologie est utilisé aussi bien comme synonyme de structure topologique que pour désigner le domaine des mathématiques concerné par l'étude de ces structures.

[modifier] Étymologie

Le mot topologie vient de la contraction des noms grecs topos et logos qui signifient respectivement lieu, et étude. Au pied de la lettre, la topologie est l'étude du lieu. Elle s’intéresse donc à définir ce qu’est un lieu (appelé aussi espace) et quelles peuvent en être les propriétés

La topologie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites continues.

Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie).

Elle s’intéresse aussi à leurs déformations.

En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir un certain nombre de résultats (existence et/ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment).

Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques.

[modifier] Idée intuitive

Généralement, la topologie se présente comme la « Géométrique de la feuille de caoutchouc» Cela fait référence à la Géométrie euclidienne, où deux objets sont équivalents même si on peut transformer l’un en l’autre à l’aide d’isométries (rotations, translations, réflexions, etc.…) c'est-à-dire, des transformations qui conservent la valeur des angles, des longueurs, des aires, des volumes et autres. En topologie, deux objets sont équivalents dans un sens beaucoup plus large. Ils doivent avoir le même nombre de morceaux, de trous, d’intersections etc.… En topologie, il est permis de doubler, étirer, tordre etc.…des objets mais toujours sans les rompre, ni séparer ce qui est uni, ni coller ce qui est séparé. Par exemple, un triangle est topologiquement la même chose qu’un cercle, c'est-à-dire qu’on peut transformer l’un en l’autre sans rompre et sans coller. Mais un cercle n’est pas la même chose qu’un segment (on doit casser le cercle pour obtenir le segment). C’est la raison pour laquelle cela s’appelle la « Géométrie de la feuille de caoutchouc» parce que c’est comme si on étudiait la géométrie avec une feuille de caoutchouc que l’on pourrait contracter, étirer, etc.

Une blague habituelle entre topologistes (les mathématiciens qui travaillent sur la topologie) raconte qu’un topologiste est une personne qui ne sait pas distinguer une tasse d’un beignet.

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Mais cette vision, bien qu’intuitive et ingénieuse, est partielle et biaisée. D’un côté, on peut penser que la Topologie traite seulement d’objets et de concepts géométriques (alors qu’au contraire, c’est la géométrie qui traite un certain type d’objets topologiques). D’un autre côté, dans beaucoup de cas, il est impossible de donner l’image d’une interprétation d’un problème topologique, ou de certains concepts. Tenter de visualiser les concepts est une erreur fréquente chez les débutants, qui les fait avancer très lentement quand ils ne peuvent trouver un exemple graphique. Il est fréquent d’entendre les étudiants dire qu’ils ne comprennent pas la Topologie et qu’ils n’aiment pas cette branche. Généralement, on doit cette aversion au fait que le problème ne peut pas être visualisé par un dessin. Finalement, la Topologie se nourrit aussi de concepts dont l’inspiration provient de l’Analyse mathématique. On peut dire que presque la totalité des concepts et idées de cette branche sont des concepts et idées topologiques.

[modifier] Histoire

L’origine de la topologie est l’étude de la géométrie dans les cultures antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesure, c’est-à-dire l’un des premiers résultats topologiques.

Henri Poincaré publia Analysis Situs en 1895, introduisant les concepts d'homotopie et d'homologie.

Maurice Fréchet, unifiant les travaux sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli et d’autres, introduit le concept d'espace métrique en 1906.

En 1914, Felix Hausdorff, en généralisant la notion d’espace métrique, inventa le terme d'« espace topologique » et définit ce qui s'appelle aujourd'hui l'espace séparé ou espace de Hausdorff.

Finalement, une autre légère généralisation en 1922, par Kuratowski, donna le concept actuel d'espace topologique.

Le terme « topologie », fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans « Vorstudien zur Topologie ».

[modifier] Liens

savoir-sans-frontière.com (le topologicon est une vulgarisation de la topologie en bande-dessinée écrite par Jean-Pierre Petit)

[modifier] Voir aussi

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Voir aussi sur Wikilivres :
la topologie.

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