Théorème de flux-divergence

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En analyse vectorielle, le théorème de flux-divergence, aussi appelé le théorème de Green-Ostrogradsky est un théorème reliant la divergence d'un champ vectoriel à la valeur de l'intégrale de surface du flux défini par ce champ.

Il stipule que le flux d'un vecteur à travers une surface fermée est égal à l'intégrale de la divergence de ce vecteur sur le volume délimité par cette surface.

L'expression du théorème est le suivant :

<math> \iiint_{\mathcal{V}} \vec{\nabla} \cdot \vec F \ {\rm d}V = \iint_{\Sigma} \vec F \cdot {\rm d} \vec S </math>

où :

<math>\mathcal{V}\,</math> représente le volume, et <math>\Sigma\,</math> le bord de <math>\mathcal{V}\,</math>, ce qu'on note mathématiquement <math>\Sigma=\part\mathcal{V}\,</math>.

<math> {\rm d} \vec S </math> est le vecteur normal à la surface , dirigé vers l'extérieur, et de longueur égale à l'élément qu'il représente .

On notera que ce théorème découle du théorème de Stokes, qui lui-même généralise le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.

C'est un résultat important en physique mathématique, en particulier en électrostatique et en dynamique des fluides.

On peut utiliser ce théorème pour déduire certaines formules utiles de calcul vectoriel :

<math>\iiint_\mathcal{V} \vec{F}\cdot \vec{\nabla} g + g \left(\vec{\nabla} \cdot \vec{F}\right){\rm d}V=\iint_{\part \mathcal{V}}g \vec{F}\cdot {\rm d}\vec{S},</math>

<math>\iiint_\mathcal{V} \vec{\nabla} g \, {\rm d}V=\iint_{\part \mathcal{V}} g {\rm d}\vec{S},</math>

<math>\iiint_\mathcal{V} \vec{G}\cdot\left(\vec{\nabla} \wedge \vec{F}\right)

- \vec{F}\cdot \left( \vec{\nabla} \wedge \vec{G}\right) {\rm d}V = \iint_{\part \mathcal{V}}\left(\vec{F} \wedge \vec{G}\right)\cdot {\rm d}\vec{S},</math>

<math>\iiint_\mathcal{V} \vec{\nabla}\wedge \vec{F} {\rm d}V = \iint_{\part \mathcal{V}}{\rm d}\vec{S} \wedge \vec{F}.</math>

Ce thèorème permet notamment de retrouver la version intégrale du théorème de Gauss à partir de l'équation de Maxwell-Gauss :

<math> \mathrm{div}\ \overrightarrow{E} \ = \ \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>