Théorème de Bernoulli

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Le théorème de Bernoulli qui a été établi en 1739 par Daniel Bernoulli exprime le bilan hydraulique simplifié d'un fluide dans une conduite. Il a posé les bases de l'hydrodynamique et, d'une façon plus générale, de la mécanique des fluides.

<math> \frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = constante </math>

v = vitesse en <math> {m.s^{-1}} </math>

g = constante de gravité en <math> {N.kg^{-1 }} </math> ou <math> {m.s^{-2}} </math>

z = altitude en <math>{m}</math>

p = pression dans la conduite en <math>{Pa}</math> ou <math> {N.m^{-2}} </math>

ρ = masse volumique du fluide en <math> {kg.m^{-3 }} </math> ou <math> {g.L^{-1}} </math>

Il suppose un fluide incompressible (ρ constant), « parfait » (sans viscosité), en régime permanent, irrotationnel (et sans transfert de chaleur).

Cette équation traduit en fait la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant:

<math>e_c = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2</math> est la densité d'énergie cinétique (énergie cinétique par unité de volume, m étant la masse du volume V de fluide) ;
<math>e_z = \frac{1}{V} \cdot m \cdot g \cdot z = \rho \cdot g \cdot z</math> est la densité d'énergie potentielle de gravité ;
<math>e_p = \frac{1}{V} \cdot p \cdot V = p</math> est la densité d'énergie élastique.

La loi de conservation s'écrit donc

e_c + e_z + e_p = constante

ce qui amène à l'équation ci-dessus en divisant par ρ.

On peut aussi retrouver ce résultat en intégrant l'équation de Navier-Stokes sur une ligne de courant.

La constante à droite de l'équation est appelée charge.

[modifier] Applications

À vitesse nulle (v = 0), on retrouve la loi de la statique des fluides

Supposons maintenant que la vitesse n'est pas nulle, mais que l'on reste toujours à la même altitude (z constant).

Si un liquide s'écoule dans une canalisation, alors comme il est incompressible, son débit (volume transitant à travers une surface par unité de temps) est constant. Si la canalisation s'élargit, alors la vitesse diminue (puisque le débit est le produit de la vitesse par la section, les deux varient à l'inverse). Le théorème de Bernoulli nous indique alors que la pression augmente. À l'inverse, si la canalisation se rétrécit, le fluide accélère et sa pression diminue ; c'est l'effet Venturi.

Ce résultat est assez peu intuitif (on s'attendrait à ce que la pression augmente lorsque la section diminue).

Si maintenant la conduite reste de section constante mais que l'on met un obstacle à l'intérieur ; l'obstacle diminue la section, on a donc le même effet. Si c'est obstacle est un cylindre tournant, d'axe perpendiculaire à l'axe de la canalisation, alors le frottement accélère le fluide d'un côté et le ralentit de l'autre. On a donc une diminution de pression d'un côté et une augmentation de l'autre, le cylindre subit une force : c'est l'effet Magnus (notons que l'on considère souvent l'effet Magnus dans l'air, qui est un fluide compressible, mais le principe général reste le même).

Supposons maintenant l'obstacle est immobile, mais dissymétrique, de sorte que le fluide doive parcourir un trajet plus long d'un côté que de l'autre pour contourner l'obstacle. Comme le débit est constant, le fluide doit aller plus vite d'un côté que de l'autre, et l'on se retrouve dans le cas précédent. Ceci explique le phénomène de portance d'une aile (même remarque que précédemment).

Si la canalisation a une section constante, et qu'elle ne présente pas d'obstacle, alors la vitesse est constante. Si l'altitude varie, alors l'équation de Bernoulli nous indique que la pression varie à l'opposé de l'altitude.