Tangente hyperbolique
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Image:Tanh.png La tangente hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.
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[modifier] Définition
La fonction tangente hyperbolique, notée tanh (parfois, mais plus rarement, th) est la fonction complexe suivante :
- <math>\begin{matrix} \tanh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {\sinh(z)} {\cosh(z)} \end{matrix}</math>
où <math>sinh</math> est la fonction sinus hyperbolique et <math>cosh</math> la fonction cosinus hyperbolique. Cette définition est analogue à celle de la fonction tangente comme rapport du sinus et du cosinus.
La tangente hyperbolique peut s'exprimer à l'aide de la fonction exponentielle :
- <math>\tanh(z)=\frac {e^z-e^{-z}} {e^z+e^{-z}} = \frac {e^{2z}-1} {e^{2z}+1}</math>
[modifier] Propriétés
[modifier] Propriétés générales
- tanh est continue et infiniment dérivable.
- La dérivée de tanh est <math>\frac {1} {\cosh^2}</math>.
- La primitive de tanh est <math>ln \left(\cosh \right) + C</math>, à une constante d'intégration C près.
- La restriction de tanh à <math>\mathbb R</math> est impaire et strictement croissante. Il s'agit d'une bijection de <math>\mathbb R</math> dans <math>\left] -1; 1 \right[</math>.
- tanh est une solution de l'équation différentielle <math>\frac {1}{2} f = f^3 -f</math>.
[modifier] Développement en série de Taylor
tanh est infiniment dérivable :
- <math>\tanh^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^{n-1} \left(-1\right)^k {n \choose k}</math>.
où <math>{n \choose k}</math> est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.
tanh possède donc un développement en série de Taylor en tout point :
- <math>\tanh z = z - \frac {z^3} {3} + \frac {2z^5} {15} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {tan^{(n)}(0)} {(2n+1)!} z^{2n+1}</math>.
[modifier] Développement en fraction continuée
La restriction de tanh à <math>\mathbb R</math> admet un développement en fraction continuée :
- <math>\tanh x=\frac {x} {1+\frac {x^2} {3+\frac {x^3} {5+\cdots} } }</math>
[modifier] Valeurs
Quelques valeurs de tanh :
- <math>\tanh(0) = 0</math>
- <math>\tanh(1) = \frac {e^2-1} {e^2+1}</math>
- <math>\tanh(i) = i \tan(1)</math>
[modifier] Fonction réciproque
tanh admet une fonction réciproque, notée arctanh. Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments <math>\left]-\infty ;-1\right[</math> et <math>\left]1;+\infty \right[</math>.
- <math>\operatorname{arctanh}(z) = \frac {1}{2} \left( \ln(1+z)-ln(1-z) \right)</math>
Pour <math>x \in \left]-1;1 \right[</math>, la restriction de tanh à <math>\mathbb R</math> admet une réciproque : <math>arctanh(x)=\frac {1}{2} ln\left( \frac {1+x} {1-x} \right)</math>.
