Système binaire
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Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.
Sommaire |
[modifier] Conversions
[modifier] Énumération des premiers nombres
Les premiers nombres s'écrivent :
décimal binaire 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101
On passe d'un nombre binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues :
11 + 1 ==== 100
Détail :
1 + 1 = 10 => on pose 0, et retient 1 1 + 1(retenue) = 10 => on pose 0, et retient 1 0 + 1(retenue) = 1 => 1
[modifier] Expression d'un nombre
Un nombre décimal à plusieurs chiffres tel que 123 s'exprime ainsi :
1 * 100 ( 1 * 102 ) + 2 * 10 ( 2 * 101 ) + 3 * 1 ( 3 * 100 )
Sa réprésentation en binaire est 1111011 et s'exprime de la même façon :
1 * 1000000 ( 1 * 26 ) + 1 * 100000 ( 1 * 25 ) + 1 * 10000 ( 1 * 24 ) + 1 * 1000 ( 1 * 23 ) + 0 * 100 ( 0 * 22 ) + 1 * 10 ( 1 * 21 ) + 1 * 1 ( 1 * 20 )
[modifier] Du système décimal vers le système binaire
Pour développer l'exemple ci-dessus, le nombre 45 853 écrit en base décimale provient de la somme de nombres ci-après écrits en base décimale. A dire vrai, pour proposer une méthode plus simple à comprendre, il faut trouver la puissance de 2 la plus grande possible inférieure au nombre de départ. On soustrait au nombre d'origine (RO) cette puissance, en notant un 1, puis l'on cherche à nouveau un multiple (RM) pour le reste (Rr).
- 1. RO= RM1+ Rr1
- 2. Rr1=RM2+Rr2
- 3.Rr2=RM3+Rr3
...
32 768 1 fois 32 768 en fait 2 multiplié 15 fois par lui même soit 215 + 0 0 fois 16 384 en fait 2 multiplié 14 fois par lui même soit 214 + 8 192 1 fois 8 192 idem 13 idem 213 + 4 096 1 fois 4 096 idem 12 idem 212 + 0 0 fois 2 048 idem 11 idem 211 + 0 0 fois 1 024 idem 10 idem 210 + 512 1 fois 512 idem 9 idem 29 + 256 1 fois 256 idem 8 idem 28 + 0 0 fois 128 idem 7 idem 27 + 0 0 fois 64 idem 6 idem 26 + 0 0 fois 32 idem 5 idem 25 + 16 1 fois 16 idem 4 idem 24 + 8 1 fois 8 idem 3 idem 23 + 4 1 fois 4 idem 2 idem 22 + 0 0 fois 2 idem 1 idem 21 = 2 + 1 1 fois 1 idem 0 idem 20 = 1 =45 853
Soit écrit en système positionnel et en numération décimale (en écrivant les puissances de 2) :
45 853 = 1×215 + 0×214 + 1×213 + 1×212 + 0×211 + 0×210 + 1×29 + 1×28 +
0×27 + 0×26 + 0×25 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20
Soit en système positionnel et en numération binaire puisque l'on ne reporte pas les puissances de 2
45 853 décimal s'écrit 1011 0011 0001 1101 binaire (séparés par groupes de 4 bits)
On voit qu'il y a 16 bits.
[modifier] Entre les bases 2, 8 et 16
[modifier] Du binaire vers octal ou hexadécimal
- Octal : base 8 : <math>8 = 2^3</math>, donc on regroupe par paquets de 3 les chiffres binaires, à partir de la droite.
- 101011011102 va s'écrire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal, on obtient le nombre octal 25568.
- Hexadécimal : base 16 : <math>16 = 2^4</math>, donc on regroupe par paquets de 4 les chiffres binaires, à partir de la droite.
- 101011011102 va s'écrire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-à-dire 56E16.
On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.
[modifier] Vers le binaire
Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire.
- 1A2F16 va s'écrire 1, 10=8+2, 2, 15=8+4+2+1 soit 1 1010 0010 11112
- 1568 va s'écrire 1, 5=4+1, 6=4+2 soit 1 101 1102
[modifier] Table des valeurs des groupements de chiffres binaires
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[modifier] Voir aussi
- Format des données
- Arithmétique binaire
- Préfixe binaire
- Virgule flottante
- Système bibi-binaire de Boby Lapointe
- Compter et calculer dans les différentes bases numériques sur Informatique-Web.net
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