Suite de Fibonacci

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La suite de Fibonacci est l'une des suites mathématiques les plus connues. Elle doit son nom au mathématicien italien Leonardo Pisano, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1170 - 1250). Dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, Fibonacci décrit la croissance d'une population de lapins :

« Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? »

Ce problème est à l'origine de la suite dont le <math>n\,</math>-ème terme correspond au nombre de paires de lapins au <math>n\,</math>-ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :

le premier mois, il y a juste une paire de lapereaux ;
les lapereaux ne sont pubères qu'à partir du deuxième mois ;
chaque mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ;
les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est strictement croissante).

Sommaire

1 Présentation mathématique
- 1.1 Expression fonctionnelle
2 Limite des quotients
3 Bases et espaces vectoriels
4 Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci
5 Propriétés de la suite de Fibonacci
6 Formules
7 Primalité des nombres de Fibonacci
8 Applications
9 Généralisations
10 Voir aussi
- 10.1 Articles connexes
- 10.2 Liens externes

[modifier] Présentation mathématique

Notons <math>\mathcal{F}_n</math> le nombre de couples de lapins au mois <math>n\,</math>. Jusqu’à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple (ce qu'on note : <math>\mathcal{F}_1=\mathcal{F}_2=1</math>). Dès le début du troisième mois, le couple de lapins a deux mois et il engendre un autre couple de lapins. On note alors <math>\mathcal{F}_3=2</math>. Plaçons-nous maintenant au mois <math>n\,</math> et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard <math>(n + 2)\,</math> : <math>\mathcal{F}_{n+2}</math> désigne la somme des couples de lapins au mois <math>n + 1\,</math> et des couples nouvellement engendrés. Or, n'engendrent au mois <math>(n + 2)\,</math> que les couples pubères deux mois auparavant. On a donc :

<math>\mathcal{F}_{n+2}=\mathcal{F}_{n+1}+\mathcal{F}_n</math>.

Nous obtenons ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents... et ainsi de suite, jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, <math>\mathcal{F}_1</math> et <math>\mathcal{F}_2</math>, qui sont connus.

[modifier] Expression fonctionnelle

On souhaite établir une expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci, c'est-à-dire une expression telle que le calcul du nombre de couples pour une valeur de <math>n\,</math> donnée ne présuppose la connaissance d’aucun nombre de couples pour une quelconque autre valeur de <math>n\,</math>, ce que ne permet pas la formule de récurrence. Comme la suite de Fibonacci est récurrente d’ordre deux, on peut écrire son équation caractéristique. On obtient une équation du second degré :

<math>x^2-x-1=0\,</math>.

Le calcul du discriminant de cette équation donne les deux solutions du polynôme :

<math>x_1 = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\,</math> et <math>x_2 = \varphi' = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\,</math>. (<math>\varphi\,</math> est le nombre d'or, et <math>\varphi'\,</math> l'opposé de la section dorée).

Les suites <math>(\varphi^n)</math> et <math>(\varphi'^n)</math> engendrent alors l'espace vectoriel des suites vérifiant <math>u_{n+2}=u_{n+1}+u_n</math>. Il en résulte que :

<math>\mathcal{F}_n = \alpha{}\varphi^n+\beta\varphi'^n</math> (<math>\alpha\,</math> et <math>\beta\,</math> sont des constantes à déterminer à partir de <math>\mathcal{F}_1</math> et <math>\mathcal{F}_2</math>.)

Les conditions initiales <math>\mathcal{F}_1=\mathcal{F}_2=1</math> conduisent au système suivant :

<math>\left\{\begin{matrix} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.</math>

Ce qui donne le résultat suivant :

<math>\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}</math> et <math>\beta = -\frac{1}{\sqrt{5}}</math>.

Nous obtenons finalement l'expression fonctionnelle recherchée, qui porte le nom de formule de Binet :

<math>\mathcal{F}_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n-\varphi'^n)</math>.

Il existe d'autres démonstrations. Une démonstration utilisant la transformée en Z est données dans l'article du même nom. Le résultat s'obtient également en utilisant la technique des fonctions génératrices.

Les termes de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci.

Les premières valeurs des nombres de Fibonacci, dans l'ordre croissant en commençant avec <math>n=0</math>, sont donnés par :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ...

En général, on n'étudie pas les nombres de Fibonacci pour des valeurs négatives de n, bien qu'ils existent et soient facilement déterminables avec la formule récurrente. Il existe ainsi une règle très simple pour générer ces nombres quand <math>n<0</math> :

si n est pair alors <math>\mathcal{F}(-n) = -\mathcal{F}(n)</math>
si n est impair alors <math>\mathcal{F}(-n) = \mathcal{F}(n)</math>

[modifier] Limite des quotients

Comme l'a remarqué Johannes Kepler, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire <math>\frac{\mathcal{F}_{n+1}}{\mathcal{F}_n}</math>, converge vers le nombre d'or, noté <math>\varphi\,</math>. Mathématiquement, le résultat s'obtient ainsi :

<math>\lim_{n \to \infty}\frac{\mathcal{F}_{n+1}}{\mathcal{F}_n}</math>	<math>=\lim_{n \to \infty}\frac{\varphi^{n+1}-\varphi'^{n+1}}{\varphi^n-\varphi'^n}</math>
	<math>=\lim_{n \to \infty}\varphi\frac{1-(\varphi'/\varphi)^{n+1}}{1-(\varphi'/\varphi)^n}</math>	(en simplifiant par <math>\varphi^n\,</math>)
	<math>=\varphi\,</math>	(comme <math>\varphi'/\varphi \in ]-1;1[</math>, <math>\lim_{n \to \infty}(\varphi'/\varphi)^n = 0</math>)

Plus précisément, quand <math>n\,</math> tend vers l'infini, le second terme tend vers zéro car <math>\varphi' \in ]-1 ; 1[</math>, ainsi les nombres de Fibonacci se comportent comme une exponentielle multipliée par le facteur <math>\frac{1}{\sqrt{5}}</math>, soit <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}</math>.

En fait, dès le rang <math>n=1\,</math>, le deuxième terme <math>{\varphi'^n \over \sqrt{5}}</math> est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme, en arrondissant à l'entier le plus proche.

[modifier] Bases et espaces vectoriels

La dénomination de « suite de Fibonacci généralisée » est attribuée plus généralement à toute fonction <math>\mathcal{G}</math> définie sur <math>\mathbb N</math> vérifiant pour tout entier naturel <math>n\,</math>, <math>\mathcal{G}_{n+2}=\mathcal{G}_{n+1}+\mathcal{G}_n</math>.Ces fonctions sont précisément celles pour lesquelles il existe des nombres a et b, tels que pour tout entier naturel n, <math>\mathcal{G}_n = a{}\cdot{}\mathcal{F}_n+b{}\cdot{}\mathcal{F}_{n+1}</math>. Ainsi, l'ensemble des suites de Fibonacci est un espace vectoriel, et les suites <math>(\mathcal{F}_n)</math> et <math>(\mathcal{F}_{n+1})</math> en forment une base.

Le nombre d'or est la racine positive de l'équation du second degré <math>x^2 - x - 1 = 0\,</math>, ainsi <math>\varphi^2 = \varphi + 1\,</math>. Si on multiplie les deux côtés par <math>\varphi^n\,</math>, on obtient <math>\varphi^{n+2} = \varphi^{n+1} + \varphi^n\,</math>, donc la fonction <math>n\mapsto \varphi^n</math> est une suite de Fibonacci. La racine négative de l'équation du second degré, <math>\varphi'=1-\varphi\,</math>, possède les mêmes propriétés, et les deux fonctions linéairement indépendantes <math>n\mapsto \varphi^n</math> et <math>n\mapsto \left(1-\varphi\right)^n</math>, forment une autre base de l'espace vectoriel.

[modifier] Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci

[modifier] Avec la Formule de Binet

Calculer les nombres de Fibonacci à partir du nombre d'or est une possibilité très pratique. Néanmoins, la précision de calcul de la racine carrée génère des erreurs d'arrondis pour des valeurs assez grandes dépendant du système utilisé. En général, on obtient les bonnes valeurs jusqu’à <math>\mathcal{F}_{71} = 308061521170130</math>, sur ordinateur ou sur calculatrice.

Notons qu’au-delà de <math>\mathcal{F}_{79}</math>, les calculs dépassent les possibilités de calcul en notation entière, et sont alors représentés en notation scientifique. Les premiers chiffres significatifs sont alors de nouveau bien représentés par cette formule.

Détail d’un exemple d'application faisable à partir d'une calculatrice : Calcul de <math>\mathcal{F}_{50}</math>.

Le nombre d’or vaut : <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\ = 1,61803398874989</math>

Appliquons la formule de Binet, (en retenant que le terme significatif) soit :

<math>\mathcal{F}_{50} = \frac{(1,61803398874989)^{50}}{\sqrt{5}} = 12586269024,9981</math>

Arrondissons à l’entier le plus proche soit :

<math>\mathcal{F}_{50} = 12586269025</math>

[modifier] Algorithme récursif primitif

L'implémentation récursive naïve de la relation de définition de la suite de Fibonacci n'est pas judicieuse, puisque l'on calculerait de nombreuses fois les mêmes valeurs, ce qui conduit à un temps de calcul exponentiel (à moins que le langage de programmation ait la particularité d'emmagasiner les valeurs précédemment calculées). Une implémentation récursive peut néanmoins être tout aussi efficace si elle exploite la récursion terminale.

[modifier] Algorithme récursif logarithmique

On calcule habituellement les nombres de Fibonacci « de bas en haut », c'est-à-dire en commençant avec les deux premières valeurs 0 et 1, et en remplaçant répétitivement le premier nombre par le second, et le second nombre par la somme des deux, ce qui donne, par exemple en Java (le code étant le même en C) :

 int F(int n) {
   int a = 0, b = 1, c = 1;
   if(n == 0) return(0);
   else if(n == 1) return(1);
   else {
     for(int i = 1; i < n; i++) {
       c = a + b;
       a = b;
       b = c;
     }
     return(c);
   }

Ou bien en Scheme, sans boucle :

; Usage : (fibo n 1 1)
(define (fibo n u v)
   (if (= n 0)
       u
       (if (= n 1)
           v
           (fibo (- n 1) v (+ u v)))))

Le temps de calcul est à chaque fois proportionnel à n et l'espace mémoire occupé constant.

Avec un système permettant les calculs arithmétiques en multi-précision, on calcule plus rapidement les nombres de Fibonacci pour de grandes valeurs de l'entier n, en utilisant la relation matricielle suivante, que l'on montre par récurrence :

<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n =

      \begin{bmatrix} \mathcal F\left(n+1\right) & \mathcal F \left(n\right) \\
                      \mathcal F\left(n\right)   & \mathcal F \left(n-1\right) \end{bmatrix}

</math>

et l'algorithme d'exponentiation rapide. L'algorithme obtenu est comparable à une programmation récursive utilisant les relations suivantes :

<math>\mathcal F_{2k} = \mathcal F_k^2 + 2\mathcal F_k \mathcal F_{k-1}</math>

<math>\mathcal F_{2k+1} = \mathcal F_k^2 + \mathcal F_{k+1}^2</math>

Le temps de calcul est alors proportionnel au logarithme de n. Voici un exemple de programme en Maple (iquo désignant le quotient dans la division euclidienne) :

 F:=proc(n) option remember;
 local m;
 if n=0 then 0
 elif n=1 then 1
 else
   m:=iquo(n,2): 
   if n mod 2 = 0 then F(m)^2+2*F(m-1)*F(m)
   else F(m)^2+F(m+1)^2 fi:
 fi:
 end:

On gagne encore en efficacité en retravaillant les relations de récurrence pour éviter les calculs redondants :

<math>\mathcal F_{2k} = \mathcal F_{2k+1} - \mathcal F_{2k-1} = (\mathcal F_k^2 + \mathcal F_{k+1}^2) - (\mathcal F_{k-1}^2 + \mathcal F_k^2) = \mathcal F_{k+1}^2 - \mathcal F_{k-1}^2</math>

On obtient finalement pour tout indice positif :

<math>\mathcal F_{k}=\left\{\begin{matrix}

0 & \mbox{si }k=0 \\ 1 & \mbox{si }0<k<3 \\ \mathcal F_{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+1}^2 - (-1)^k \mathcal F_{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}^2 & \mbox{sinon} \end{matrix}\right. </math>

Voici un exemple de programme en Python :

 def F(n):
   if   n < 3: return 0 + (0 < n)
   elif n % 2: return F(n / 2 + 1) ** 2 + F((n - 1) / 2) ** 2
   else      : return F(n / 2 + 1) ** 2 - F((n - 1) / 2) ** 2

En étendant aux indices négatifs on obtient :

<math>\mathcal F_{k}=\left\{\begin{matrix}

-1 & \mbox{si }k=-2 \\ 1 & \mbox{si }k=-1\mbox{ ou si }0<k<3 \\ \mathcal F_{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor+1}^2 - (-1)^k \mathcal F_{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}^2 & \mbox{sinon} \end{matrix}\right. </math>

Voici un exemple de programme en Python :

 def F(n):
   if   abs(n) < 3: return - (n == -2) + (n == -1) + 0 + (0 < n)
   elif n % 2     : return F(n / 2 + 1) ** 2 + F((n - 1) / 2) ** 2
   else           : return F(n / 2 + 1) ** 2 - F((n - 1) / 2) ** 2

[modifier] Propriétés de la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci, ainsi définie, présente de remarquables propriétés. En voici quelques-unes, données avec leur démonstration (celles-ci font en général appel au raisonnement par récurrence). Nous donnons également quelques propriétés liant la suite de Fibonacci et les nombres de Lucas.

Propriété 1 : <math>\forall (p,q)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}, \mathcal{F}_{p+q} = \mathcal{F}_{p-1}\mathcal{F}_q + \mathcal{F}_p\mathcal{F}_{q+1}</math>

Démonstration

Propriété 2 : <math>\forall (k,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}^*, \mathcal{F}_n{}|{}\mathcal{F}_{n\cdot k}</math>

Démonstration

Remarque : On peut tirer une conclusion intéressante de cette propriété. En effet, si <math>\mathcal{F}_n</math> est premier, alors celui-ci n'admet pour diviseurs que l'unité et lui-même (ainsi que leurs opposés). Il n'existe donc pas d'entier <math>m\,</math> tel que <math>\mathcal{F}_m\not = 1</math>, <math>\mathcal{F}_m\not = \mathcal{F}_{n}</math> et <math>\mathcal{F}_m{}|{}\mathcal{F}_{n}</math>, autrement dit : il n'existe pas d'entier <math>m\,</math> (<math>m\not = 1</math> et <math>m\not = n</math>) qui divise <math>n\,</math>, d'où : <math>n\,</math> est premier. On note :

<math>\mathcal{F}_n\in\mathbb{P}{}\Rightarrow{}n\in\mathbb{P}</math> où <math>\mathbb{P}</math> désigne l'ensemble des nombres premiers (La réciproque est fausse : <math>2\in\mathbb{P},\mathcal{F}_2{}\not\in{}\mathbb{P}</math>).

Propriété 3 : <math>\forall (k,n)\in\mathbb{N}^2{}/{}n{}\ge{}k{}\ge{}0, \mathcal{F}_n{}\mathcal{F}_{k+1}-\mathcal{F}_k\mathcal{F}_{n+1}=(-1)^k\mathcal{F}_{n-k}</math>

Démonstration

Propriété 4 : <math>\forall (p,q)\in\mathbb{N}^2{}, \mathcal{F}_p{}\land{}\mathcal{F}_q = \mathcal{F}_{p{}\land{}q}</math>

Démonstration

En particulier, <math>\forall n\in\mathbb{N}{},\mathcal{F}_n{}\land{}\mathcal{F}_{n+1}=1</math>

Propriété 5 : <math>\forall n\in\mathbb{N}^*{}, \mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n+1}</math>

(Précision : les nombres de Lucas <math> \mathcal{L}_n</math> ont même relation de récurrence mais ont pour initialisation <math> \mathcal{L}_0 = 2</math> et <math> \mathcal{L}_1 = 1</math>)

Démonstration

Propriété 6 : <math>\forall n\in\mathbb{N}-\{0,1,2\}{},2\mathcal{L}_n=\mathcal{F}_{n-3}+\mathcal{F}_{n+3}</math>

Démonstration

Propriété 7 : <math>\forall n\in\mathbb{N}{}, \mathcal{F}_{2{}\cdot{}n} = \mathcal{F}_{n}\mathcal{L}_{n}</math>

Démonstration

Propriété 8 : <math>\forall n\in\mathbb{N}^*{}, \mathcal{F}_{2{}\cdot{}n-1} = \mathcal{F}_{n-1}^2+\mathcal{F}_{n}^2</math>

par application directe de la propriété 1 pour p = n et q = n -1

Propriété 9 : <math>\forall n\in\mathbb{N}^*{}, \mathcal{F}_{n+1}\mathcal{F}_{n-1} -\mathcal{F}_n^2= (-1)^n</math>

Démonstration

Propriété 10 : <math>\forall n\in\mathbb{N}{},1+\sum_{i=0}^n \mathcal{F}_i=\mathcal{F}_{n+2}</math>

Démonstration

Propriété 11 : <math>\forall n\in\mathbb{N}{},1+\sum_{i=0}^n \mathcal{F}_{2{}\cdot{}i}=\mathcal{F}_{2{}\cdot{}n+1}</math>

Démonstration

Propriété 12 : <math>\forall n\in\mathbb{N}{},\mathcal{F}_{n+1} = \sum_{k=0}^{\infty} {n-k \choose k}</math> où les <math> n-k \choose k</math> sont des coefficients binomiaux.

Démonstration

Cela signifie que, dans un triangle de Pascal, les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes situés sur une diagonale (du bas vers la droite)

Propriété 13 : <math>\forall n\in\mathbb{N}^*,\varphi^n = \mathcal{F}_n{}\cdot{}\varphi + \mathcal{F}_{n-1}</math>

Démonstration

Propriété 14 : <math>\forall n > 2,\mathcal{F}_{n+2}\mathcal{F}_{n+1}\mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_{n-2} - \mathcal{F}_{n}^4 + 1 = 0</math>

Démonstration

[modifier] Formules

La formule suivante permet de retrouver tous les nombres de Fibonacci d'indice impair supérieur ou égal à 3 :

<math>4^N\cdot\prod_{n=1}^{N}\left (\cos^2(\frac{n\pi}{2N+1})+\frac{1}{4}\right )=\mathcal{F}_{2N+1} \quad (N > 0)</math>

[modifier] Primalité des nombres de Fibonacci

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que <math>\mathcal{F}_n</math> divise <math>\mathcal{F}_{k{}\cdot{}n}</math> (voir Propriétés, Propriété 2), et donc que, pour tout <math>n >4\, </math>, si <math>\mathcal{F}_n</math> est premier, alors <math>n\,</math> est premier, mais la réciproque est fausse. Le plus grand nombre de Fibonacci premier connu est <math>\mathcal{F}_{604711}</math> qui possède 126377 chiffres.

Il existe des suites <math>(\mathcal{T}_n)</math> vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

<math>\mathcal{T}_{n+2}=\mathcal{T}_{n+1}+\mathcal{T}_n</math>
<math>\mathcal{T}_n{}</math> et <math>\mathcal{T}_{n+1}</math> sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun).
<math>\forall n\in\mathbb{N},\; \mathcal{T}_n</math> n'est pas premier.

Les plus petits exemples connus sont déterminés par :

<math>\mathcal{T}_0 = 3794765361567513 = 3\cdot 1264921787189171</math>
<math>\mathcal{T}_1 = 20615674205555510 = 2\cdot 5\cdot 5623\cdot 366631232537</math>

<math>\mathcal{T}_0 = 1786772701928802632268715130455793 = 2521\cdot 49993\cdot 14177095479037851751198481</math>
<math>\mathcal{T}_1 = 1059683225053915111058165141686995 = 3\cdot 5\cdot 84089\cdot 73919059\cdot 150031897\cdot 75754002239</math>

[modifier] Applications

La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux problèmes de dénombrement. Par exemple, le terme d'indice n (pour n supérieur ou égal à 2) de la suite de Fibonacci permet de dénombrer le nombre de façons de parcourir un chemin de longueur n - 1 en faisant des pas de 1 ou 2. Ce problème apparaît d'aillleurs très tôt en Inde, sous le nom maatraameru (montagne de cadence), dans le travail du grammairien de Sanskrit Pingala, le Chhandah-shastra, (l'art de la Prosodie), 450 ou 200 av. JC). Le mathématicien Indien Virahanka en a donné des règles explicites au VIIIème siècle. Le philosophe Indien Hemachandra (c.1150) (et aussi Gopala) ont revisité le problème de manière assez détaillée. En Sanskrit en effet, les voyelles peuvent être longues (L) ou courtes (C), et Hemachandra a souhaité calculer combien on peut former de cadences différentes d'une longueur donnée, chaque cadence étant définie par les longueurs des voyelles qui la constituent. Si la voyelle longue est deux fois plus longue que la courte, les solutions sont, en fonction de la longueur totale de la cadence :

1 C -> 1

2 CC,L -> 2

3 CCC, CL, LC -> 3

4 CCCC, CCL, CLC, ,LCC, LL -> 5

5 CCCCC, CCCL, CCLC, CLCC, LCCC, CLL, LCL, LLC -> 8

Le nombre de cadences fait apparaître les termes de la suite de Fibonacci. En effet, une cadence de longueur n peut être constituée en ajoutant C à une cadence de longueur n-1, ou L à une cadence de longueur n-2. Ainsi le nombre de cadences de longueur n est la somme des deux nombres précédents de la série. Ce problème est également équivalent au dénombrement des emballages de longueur n donnée, constitué d'articles de longueur 1 ou 2, tel qu'on le trouve par exemple dans The Art of Computer Programming de Donald Knuth.

Les nombres de Fibonacci interviennent dans l'étude de l'exécution de l'algorithme d'Euclide qui détermine le plus grand commun diviseur de deux entiers.

Matiyasevich a montré que les nombres de Fibonacci pouvaient être définis par une équation diophantienne, ce qui a conduit à la résolution du dixième problème d'Hilbert. En 1975, Jones en a déduit que, pour des valeurs de x et y entières positives ou nulles, les valeurs positives du polynôme <math>2xy^4 + x^2y^3 - 2x^3y^2 - y^5 - x^4y + 2y</math> étaient exactement les nombres de Fibonacci. Ces valeurs positives s'obtiennent d'ailleurs en attribuant pour valeurs à x et y deux nombres de Fibonacci successifs.

Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule des diagonales du triangle de Pascal (voir Propriétés, Propriété 11).

Une utilisation intéressante des suites de Fibonacci est la conversion des miles en kilomètres. Par exemple, pour savoir combien de kilomètres font 5 miles, il suffit de considérer le <math>\mathcal{F}_5 = 5</math> et le suivant <math>\mathcal{F}_6 = 8</math>. 5 miles font environ 8 kilomètres. Cela fonctionne parce qu'il se trouve que le facteur de conversion entre les miles et les kilomètres est grossièrement égal à <math>\varphi\,</math>.

Image:FibonacciBlocks.png

Une bonne approximation d'un rectangle d'or peut être construite à l'aide de carrés dont les côtés sont égaux aux nombres de Fibonacci.

Une spirale logarithmique peut être approchée de la manière suivante : on commence à l'origine d'un repère cartésien, on se déplace de <math>\mathcal{F}_1</math> unités vers la droite, puis de <math>\mathcal{F}_2</math> unités vers le haut, on se déplace de <math>\mathcal{F}_3</math> unités vers la gauche, ensuite de <math>\mathcal{F}_4</math> unités vers le bas, puis de <math>\mathcal{F}_5</math> unités vers la droite, etc. Cela ressemble à la construction mentionnée dans l'article sur le nombre d'or. Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature lorsque des spirales logarithmiques sont construites à partir d'une unité discrète, telles que dans les tournesols ou dans les pommes de pin.

La plupart des êtres vivants sexués sont issus de deux parents, de sorte que leurs ancêtres à la n-ème génération, supposés distincts, sont au nombre de 2ⁿ. Mais les hyménoptères sont tels que les femelles sont issues de deux parents, et les mâles sont issus d'une mère seulement. Il en résulte que leurs ancêtres à la n-ème génération sont constitués :

pour les femelles, de <math>\mathcal F_n</math> mâles et <math>\mathcal F_{n+1}</math> femelles,

pour les mâles, de <math>\mathcal F_{n-1}</math> mâles et <math>\mathcal F_n</math> femelles.

Le nombre de façons différentes de paver un rectangle 2 x N au moyen de dominos 2 x 1 est <math>\mathcal F_{N+1}</math>.

Démonstration

[modifier] Généralisations

Il existe plusieurs voies pour généraliser la suite de Fibonacci: on peut modifier les valeurs initiales, modifier les coefficients de la relation de récurrence ou modifier le nombre de termes (ou ordre) de la relation de récurrence.

[modifier] Suites de Fibonacci généralisées

Ce sont des suites qui conservent la même relation de récurrence mais dont les termes initiaux ont changé. Comme l'a démontré la première partie, ces suites sont combinaisons linéaires des deux suites géométriques <math>(\varphi)^n</math> et <math> ((1-\varphi)^n)</math> où φ est le nombre d'or. Le quotient de deux termes consécutifs tend toujours vers φ.

Parmi ces suites de nombres, il faut signaler les nombres de Lucas obtenus en choisissant comme initialisation : <math> L_0 =2 </math> et <math>L_1=1</math>. Ce qui donne la suite 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ... On trouve parfois une initialisation <math> L_0 =1</math> et <math>L_1=3</math> qui ne consiste qu'à décaler la suite d'un rang. Ces nombres interviennent dans la résolution d'équations diophantiennes. Ils sont très liés à la suite de Fibonacci, en particulier par la relation suivante : <math>\mathcal{L}_n = \mathcal{F}_{n+1} + \mathcal{F}_{n-1}\,</math> pour tout entier n strictement positif (voir Propriétés, Propriété 5).

[modifier] Suites de Lucas

Ce sont les suites où la relation de récurrence a changé : elle est devenue

Elles sont de deux types selon que l'initialisation est de <math> u_0 =0 </math> et <math>u_1=1</math> ou qu'elle est <math> v_0 =2 </math> et <math>v_1=P</math>.

La suite de Fibonacci est alors une suite u de Lucas de paramètres P = 1 et Q = 1. La suite des nombres de Lucas est alors une suite v de Lucas de paramètres P = 1 et Q = 1.

Image:Searchtool.svg Voir l’article Suite de Lucas.

[modifier] Suites de k-bonacci

Ce sont des suites dont la relation de récurrence est d'ordre k. Un terme est la somme des k termes qui le précèdent

Parmi ces suites, on distingue la suite de Tribonacci (récurrence d'ordre 3) et la suite de Tetranacci (récurrence d'ordre 4). Selon ce nouveau classement de suites, la suite de Fibonacci est une suite de 2-bonacci.

Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à l'ensemble très général des suites à récurrence linéaire.