Produit vectoriel

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Le produit vectoriel est le résultat d'une multiplication vectorielle dans l'espace euclidien orienté de dimension trois. Cette notion a été théorisée dans les années 1880 par Josiah Willard Gibbs à partir des travaux de Hermann Günther Grassmann.

[modifier] Définition

Le produit vectoriel de deux vecteurs <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> se définit comme l'unique vecteur <math>\vec w</math> tel que :

le vecteur <math>\vec w</math> est orthogonal aux deux vecteurs donnés,
le repère <math>(\vec{u},\vec{v}, \vec{w})</math> est de sens direct,
<math>\|\vec w\| = \|\vec u\| \cdot \|\vec v\| \cdot \sin(\widehat{\vec u,\vec v})</math>.

[modifier] Approche tensorielle

Soient deux vecteurs à trois composantes <math>u_i</math> et <math>v_j</math>. On peut définir le tenseur

<math>\begin{pmatrix}

u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\ u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \\ \end{pmatrix}</math> qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement :

Ce tenseur peut se décomposer en la somme de deux tenseurs, l'un complètement symétrique :

qui a 6 composantes indépendantes, et l'autre complètement anti-symétrique :

qui a 3 composantes indépendantes. On peut alors « transformer » ce tenseur anti-symétrique en un vecteur à trois composantes en utilisant le symbole de Levi-Civita <math>\varepsilon_{ijk}</math> (tenseur totalement anti-symétrique) :

<math>z_k = \varepsilon_{ijk} \cdot (u_i\cdot v_j - u_j\cdot v_i )</math>

(selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur i et sur j dans la formule ci-dessus). Le vecteur z_k est le produit vectoriel de <math>u_i</math> et <math>v_j</math>.

On voit que si l'on échange les indices i et j, le signe change. De fait, en physique, lorsqu'une grandeur est le produit vectoriel de deux vecteurs, elle est souvent qualifiée de « pseudo-vecteur » (c'est le problème de l'image du système dans un miroir).

[modifier] Notation

Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel. On utilise spécialement en France le V renversé (<math> \wedge </math>) initié par Cesare Burali-Forti, mais qui a le gros défaut d'être en conflit avec la notation du produit extérieur. La notation par une croix ( <math> \times </math> ), due à Josiah Willard Gibbs, a le défaut d'être en conflit avec le produit des réels ou le produit cartésien.

Voici quelques exemples de notation:

<math>\vec A\wedge \vec B</math> en France et dans les pays francophones en général;
<math>\vec A\times \vec B</math> dans les pays anglophones et hispanophones, en Allemagne, Chine, Japon, Canada (y compris francophone), Corée, Vietnam etc;
<math>\left[\vec A\, \vec B\right]</math> en Russie;
<math>\left[\vec A\, , \vec B\right]</math> en Ukraine.

[modifier] Propriétés

Le produit vectoriel :

est distributif sur l'addition :
<math>\vec u\wedge(\vec v+\vec w) = \vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w</math>,
est compatible avec la multiplication par un scalaire :
<math>\lambda (\vec u\wedge\vec v) = \lambda\vec u\wedge\vec v = \vec u\wedge\lambda\vec v</math>,
est anticommutatif :
<math>\vec u\wedge\vec v = -\vec v\wedge\vec u</math>
est non associatif :
<math>\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) \ne (\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w</math>
satisfait l'identité de Jacobi :
<math>\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) + \vec w\wedge(\vec u\wedge\vec v) + \vec v\wedge(\vec w\wedge\vec u) = \vec 0</math>

Ces propriétés montrent que <math>\R^3</math> muni du produit et de l'addition vectoriels forment une algèbre de Lie.

D'autre part, il satisfait aux identités de Lagrange :

<math>\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) \equiv (\vec u\cdot\vec w)\vec v - (\vec u\cdot\vec v)\vec w</math>

<math>(\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w \equiv (\vec u\cdot\vec w)\vec v - (\vec v\cdot\vec w)\vec u</math>

Dans une base orthonormée directe <math>\left(\vec i, \vec j, \vec k \right)</math> :

<math>\vec u \wedge \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}=(u_yv_z-u_zv_y)\vec i+(u_zv_x-u_xv_z)\vec j+(u_xv_y-u_yv_x)\vec k</math>

En partant de l'identité algébrique :

<math>\left((bc'-b'c)^2+(ca'-c'a)^2+(ab'-a'b)^2\right) + (aa'+bb'+cc')^2 = (a^2+b^2+c^2)\cdot (a'^2+b'^2+c'^2)</math>,

on peut démontrer facilement l'égalité (aussi appelée Identité de Lagrange) :

que l'on peut aussi écrire sous la forme :

<math>\left(\frac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right)^2 + \left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right)^2 = 1\,</math>

ce qui équivaut à l'identité trigonométrique :

<math>\sin^2(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) + \cos^2(\widehat{\vec{u},\vec v}) = 1</math>,

et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore.

D'après la définition du produit vectoriel, le sinus de l'angle formé par deux vecteurs est égal à :

<math>\sin (\widehat{\vec u,\vec v}) = \frac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\cdot\|\vec v\|}</math>

Ainsi, si les vecteurs sont colinéaires, <math>\vec u \| \vec v</math>, alors l'angle entre eux est nul et la multiplication vectorielle donne le vecteur nul :

<math>\vec u\wedge\vec v = \vec 0</math>.

Si les vecteurs <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> ont même origine, la norme <math>\|\vec u \wedge \vec v\|</math> est égale à l'aire du parallélogramme construit sur <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math>, car l'aire du parallélogramme est le produit de sa hauteur par un des côtés, et sa hauteur est égale au produit de l'autre côté par le sinus de l'angle.