Les travaux de Planck, Einstein et De Broglie avaient mis à jour que la nature quantique de la matière entraînait l'équivalence entre des propriétés ondulatoires (fréquence et vecteur d'onde) et corpusculaires (énergie et impulsion) selon les lois : <math>E=\hbar \omega</math> et <math>\vec{p}=\hbar \vec{k}</math>.

La dualité onde-corpuscule confirmée alors par de nombreuses expérimentations posait un problème de fond aux physiciens. En effet, pour posséder une fréquence et un vecteur d'onde, un objet doit avoir une certaine extension en espace et en temps. Un objet quantique ne peut donc être ni parfaitement localisé, ni avoir une énergie parfaitement définie.

Image:OndeCorpuscule.png

De manière simplifiée, ce principe d'indétermination énonce donc que - de façon assez contre-intuitive du point de vue de la mécanique classique - pour une particule massive donnée, on ne peut pas connaître simultanément sa position ET sa vitesse. Soit on peut connaître précisemment sa position (par ex: à ± 1 mm) contre une grande incertitude sur la valeur de sa vitesse (par ex: à ± 100 m/s), soit on peut connaître précisemment sa vitesse (par ex: à ± 0,0001 m/s) contre une grande incertitude sur la valeur de sa position (par ex: à ± 1 km)

Cependant, si on renonce à considérer la particule en tant qu'objet corpusculaire, l'énoncé ce principe devient plus intuitif. L'objet quantique ayant une certaine extension dans l'espace et une certaine durée de vie en temps, on le représente alors, non plus par un ensemble de valeurs scalaires (position, vitesse), mais par une fonction décrivant sa distribution spatiale. Toute l'information relative à la particule est contenue dans cette fonction d'onde. Les mesures scalaires effectuées sur cette particule consistent à extraire seulement une partie de cette information, par l'intermédiaire d'opérateurs mathématiques.

Bien que la dénomination « principe d'incertitude » soit la plus usitée, on doit en toute rigueur parler de « principe d'indétermination ». Cependant l'expression s'est répandu à tel point qu'elle est aujourd'hui acceptée par tous les physiciens. Le terme de « principe » est inapproprié quoique souvent encore usité. Il convient de parler de relations d'incertitude ou même de relations d'indétermination.

En raison de ses connotations philosophiques, aujourd'hui les physiciens parlent des relations d'incertitude, ou des inégalités d'Heisenberg, car il s'agit d'une inégalité portant sur des grandeurs physiques non-commutatives.

[modifier] Corrélation des incertitudes d'Heisenberg

Considérons une particule massive non relativiste se déplaçant sur un axe.

[modifier] Description classique

La mécanique classique de Newton affirme que la dynamique de la particule est entièrement déterminée si l'on connaît à chaque instant : sa position <math>x</math> et sa quantité de mouvement <math>p = mv</math> (également appelée : impulsion) . Ces deux grandeurs physiques réelles ont des valeurs appartenant à <math>\mathbb{R}</math>, variant de moins l'infini à plus l'infini. On dit que le couple <math>(x,p)</math> définit l' espace des phases de la particule. Toute grandeur physique est représentable par une fonction <math>f(x,p)</math> réelle. Cette théorie est conforme à la logique aristotélicienne, incluant la notion de tiers-exclu : « il faut qu'une porte soit ouverte ou bien fermée. »

[modifier] Description quantique

L'immense effort intellectuel qu'a représenté l'accouchement de la mécanique quantique [VN46] réside dans le fait suivant : il faut abandonner la logique d'Aristote. La logique quantique, sans notion de tiers-exclu, vient la remplacer.

[modifier] Notion d'observable

Très curieusement, une grandeur physique, appelée une observable, n'est plus une fonction <math>f(x,p)</math> réelle, mais est représentée par un opérateur hermitien <math>\hat{G}</math> agissant sur un espace de Hilbert <math>\mathcal{H}</math>. La valeur de cette grandeur physique est l'une des valeurs propres réelle de cet opérateur <ref>On note <math>g_i</math> la valeur propre associée au vecteur propre <math>| g_i ></math>. Par souci de simplification, on néglige ici la notion de multiplicité des valeurs propres.</ref> :

g_i > \ = \ g_i \ | g_i > </math>

Si l'état du système à l'instant de la mesure est un vecteur <math>| \psi ></math> de l'espace <math>\mathcal{H}</math>, alors ce vecteur admet la décomposition :

\psi > \ = \ \Sigma_i \ c_i \ |g_i > </math>

où <math>c_i</math> est un nombre complexe.

[modifier] Interprétation probabiliste

Le nombre complexe <math>c_i</math> permet de calculer la probabilité <math>p_i</math> d'obtenir la valeur <math>g_i</math> :

c_i |^2 \ = \ c_i \ c_i^*</math>.

La mesure de la grandeur est donc une variable aléatoire (v.a.) avec une espérance <math>E(g)</math> et un écart type <math>\sigma(g)</math> <ref>Plus généralement, tous les moments peuvent être définis.</ref>. La mesure est donc de nature probabiliste, ce qui implique beaucoup de paradoxes apparents en logique aristotélicienne. L'un d'entre eux a été immédiatement remarqué par Heisenberg : comme l'opérateur position <math>\hat{x}</math> et l'opérateur quantité de mouvement <math>\hat{p}</math> ne commutent pas :

<math> \left[ \hat{q} , \ \hat{p} \right] \ = \ i \ \hbar \ \hat{1}</math>

on ne peut pas mesurer simultanément ces deux grandeurs : la notion d'espace des phases disparait en mécanique quantique. L'objet quantique est en fait complétement décrit par sa fonction d'onde. Les grandeurs scalaires utilisées en physique classique sont insuffisantes et inadéquates.

L'évolution déterministe de Newton est remplacée par une équation d'évolution déterministe de Schrödinger, permettant de prédire de façon certaine l'évolution temporelle des probabilités.

[modifier] Inégalité de Heisenberg

Des mesures répétées de la position et de l'impulsion donneront des résultats en général différents à chaque mesure : chaque échantillon de valeurs sera caractérisé par un écart type : <math>\sigma_x</math> pour la position, et <math>\sigma_p</math> pour l'impulsion. Le théorème d'Heisenberg démontre que :

<math>\sigma_x \ \cdot \ \sigma_p \ \ge \ \frac{\hbar}{2}</math>

où <math>\hbar</math> est le quantum d'action. Cette notion est fréquemment vulgarisée par des phrases du type : « il est impossible de connaître à la fois la position et la quantité de mouvement d’un objet de manière précise ». En effet, si par exemple la position d'une particule est exactement connue, la dispersion en position est identiquement nulle : <math>\sigma_x = 0</math>. L'inégalité de Heisenberg implique alors que <math>\sigma_p = \infty</math> : la dispersion en impulsion doit être maximale.

[modifier] Principe général de Heisenberg

Le théorème de Heisenberg ne s’applique pas seulement au couple de valeurs position et quantité de mouvement. Dans sa forme générale, il s’applique à chaque couple d'opérateurs <math>\hat{A}</math> et <math>\hat{B}</math> ne commutant pas :

[modifier] Énoncé du principe de Heisenberg

Pour un état <math>| \psi ></math> donné, on a :

\hat{C} | \psi >}{2}</math>

où la valeur moyenne du commutateur <math><C></math> dépend bien sûr de l'état <math>|\psi></math> choisi.

Ce théorème général, conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, fut mit en évidence en 1930 par Robertson et (indépendamment) par Schrödinger ; l'inégalité est donc aussi connue comme la relation de Robertson-Schrödinger.

[modifier] Principe ou théorème ?

Les puristes réservent parfois le nom de principe au cas où un minorant non nul de <math> | < \hat{C} > |</math> existe quel que soit l'état <math> | \psi > </math>. Cela n'est possible que si l'espace de Hilbert est de dimension infinie. En effet, dans le cas d'un espace de dimension finie, on a :

<math>\mathrm{Trace} \, (\hat{A}\hat{B}) \ = \ \mathrm{Trace} \, (\hat{B}\hat{A}) \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{Trace} \, (\hat{C}) \ = \ 0</math>

Il n'y a alors que théorème d'Heisenberg, et non pas principe ; c'est par exemple le cas d'un spin 1/2.

[modifier] Autre formulation du principe de Heisenberg

L'inégalité de Heinseberg est souvent écrite :

<math>\Delta{A} \ \cdot \ \Delta{B} \ \ge \ \frac{1}{2} \ \left| \ \left\langle \ \left[ \ \hat{A}, \ \hat{B} \ \right] \ \right\rangle_\gamma \ \right|</math>

où :

<math>A</math> et <math>B</math> sont deux observables,

<math>\hat{A}</math> et <math>\hat{B}</math> leurs opérateurs correspondants,

<math>[\hat{A},\hat{B}]</math> représente le commutateur de <math>\hat{A}</math> et <math>\hat{B}</math>,

<math>\left\langle\,\right\rangle_\gamma</math> est la moyenne sur l’état |γ>, et

<math>\Delta{X}</math> est l’écart type de <math>X</math> : <math>\sqrt{{\left\langle\hat{X}^2\right\rangle}_\gamma-{\left\langle\hat{X}\right\rangle}_\gamma^2}</math>.

[modifier] Relation temps-énergie

Il existe également une relation d'incertitude portant sur l'énergie d'un particule et la variable temps. Ainsi, la durée <math>\Delta t</math> nécessaire à la détection d'une particule d'énergie <math>E</math> à <math>\Delta E</math> près <ref>Ce concept est primordial en théorie quantique des champs, théorie qui fait appel à la notion de particule virtuelle.</ref> vérifie la relation :

<math> {\Delta}E \, \cdot \, {\Delta}t \ {\ge} \ \frac{\hbar}{2}</math>

Cependant, la dérivation de cette inégalité énergie-temps est assez différente de celle des inégalités position-impulsion <ref>Pour une dérivation rigoureuse de l'inégalité énergie-temps, consulter par exemple : Albert Messiah Mécanique quantique - volume 1, Dunod (1959) pp. 114-117, pp. 269-270, et enfin, pour l'oscillateur harmonique, p. 280. Ouvrage réédité par Dunod en 1995 : ISBN 2100073613.</ref>. En effet, si le Hamiltonien est bien le générateur des translations dans le temps en mécanique hamiltonienne, indiquant que temps et énergie sont conjugués <ref>De même que la composante <math>p_i</math> de l'impulsion est le générateur des translations d'espace dans la direction <math>x^i</math>.</ref>, il n'existe pas d'opérateur temps en mécanique quantique (« théorème » de Pauli), c'est à dire qu'on ne peut pas construire d'opérateur <math> \hat{T}</math> qui obéirait à une relation de commutation canonique avec l'opérateur Hamiltonien <math> \hat{H}</math> :

<math> \left[ \hat{H} , \hat{T} \right] \ = \ i \hbar \ \hat{1}</math>

ceci pour une raison très fondamentale : la mécanique quantique a en effet été inventée pour que chaque système physique stable possède un état fondamental d'énergie miminum<ref>L'argument de Pauli est le suivant : si l'opérateur temps existait, il posséderait un spectre continu. Or, l'opérateur temps, obéissant à la relation de commutation canonique, serait aussi le générateur des translations en énergie. Ceci entraine alors que l'opérateur hamiltonien posséderait lui aussi un spectre continu, en contradiction avec le fait que l'énergie de tout système physique stable se doit d'être bornée inférieurement. Concernant la validité de ce « théorème », lire les travaux très récents d'Eric Galapon : quant-ph/9908033 et quant-ph/0303106.</ref>.

[modifier] Perspective historique

Il est clair que l'abandon de la logique d'Aristote à cause de la nature probabiliste de la mesure a suscité un vif émoi dans la communauté scientifique : John von Neumann est un des tous premiers à écrire sur la logique quantique [BVN36], suivi par Mackey [MA63].

La controverse Einstein-Bohr est par ailleurs célèbre : pour Einstein, « Dieu ne joue pas aux dés ! », ce à quoi Bohr répondra : « Einstein, cessez de dire à Dieu ce qu'Il doit faire ». Le paradoxe EPR entraînera Bell via ses inégalités à renoncer à la notion classique de localité [BE64]. Cette hypothèse sera confirmée par l'expérience d'Aspect en 1982 ; cette expérience sera encore raffinée par Zeilinger en 1998 [AS01]. Le paradoxe du chat de Schrödinger conduira à une réflexion profonde sur le rôle du couplage à l'environnement et la décohérence des intricats [HA97], [OM00], [IHP05]. D'où la progression fulgurante de la cryptologie quantique, de la téléportation quantique, réalités techniques en 2005, et de l' informatique quantique, encore balbutiante en 2005.

[modifier] Difficulté d'interprétation

[modifier] Exemples

Cette corrélation d'incertitudes est parfois expliquée de manière erronée en affirmant que la mesure de la position modifie obligatoirement la quantité de mouvement d'une particule. Heisenberg lui même offrit initialement cette explication en 1927. Cette modification ne joue aucun rôle, car le théorème s'applique même si la position est mesurée dans une copie du système, et la quantité de mouvement dans une autre copie parfaitement identique.

Une meilleure analogie serait la suivante : soit un signal variable dans le temps, comme une onde sonore, et soit à connaître la fréquence exacte de ce signal à un instant <math>t</math> précis. Ceci est impossible en général, car pour déterminer précisément la fréquence, il faut échantillonner le signal pendant une certaine durée <ref>Techniquement, le temps et la fréquence sont ici des variables conjuguées au sens de la transformée de Fourier.</ref>. En traitement du signal, cet aspect est au cœur de l'approche temps-fréquence du spectrogramme où l'on utilise le principe d'incertitude sous la formulation de Gabor.

Le théorème d'Heisenberg s'applique en particulier à l'expérience cruciale des fentes d'Young avec un photon unique : toutes les ruses qu'inventent les physiciens pour tenter de voir passer la "particule" à travers un des trous, détruisent la phase et donc les interférences de l'onde : il y a complémentarité de Bohr, c'est à dire que si avant toute mesure , l'état quantique <math>|\psi > </math> décrit à la fois un aspect ondulatoire et un aspect corpusculaire, après la mesure , il subsiste un aspect ondulatoire ou un aspect corpusculaire. Selon la phrase célèbre de Dirac , la « particlonde<ref>Jean-Marc Lévy-Leblond a proposé d'utiliser plutôt le terme de quanton : Jean-Marc Lévy-Leblond & Françoise Balibar ; Quantique : rudiments, InterEditions/Editions du CNRS (1984). Réédité par Masson (1997) ISBN 2-225-85521-8, aujourd'hui racheté par Dunod : ISBN 2-225-85521-8.</ref> » a interférée avec elle-même.

Cette expérience est présentée au Palais de la Découverte avec une source de photon unique. Le motif produit par des millions de photons passant à travers les fentes peut être calculé à l'aide de la mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucune méthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucune méthode. En 2005, on a même réussi cette expérience avec des fullerènes, ces grosses molécules de carbone contenant 60 atomes !

[modifier] La controverse Bohr-Einstein

Einstein n'aimait pas le théorème d'incertitude. Lors du 5ème congrès Solvay (1927), il soumit à Bohr un fameux défi expérimental : nous remplissons une boîte avec un matériau radioactif qui émet de manière aléatoire une radiation. La boîte a une fente qui est ouverte et immédiatement fermée par une horloge de précision, permettant à quelques radiations de sortir. Donc le temps est connu avec précision. Nous voulons toujours mesurer précisément l'énergie qui est une variable conjuguée. Aucun problème, répond Einstein, il suffit de peser la boîte avant et après. Le principe d'équivalence entre la masse et l'énergie donnée par la relativité restreinte permet ainsi de déterminer précisément l'énergie qui a quitté la boîte. Bohr lui répondit ceci : si de l'énergie avait quitté le système alors la boîte plus légère serait montée sur la balance. Ce qui aurait modifié la position de l'horloge. Si l'horloge dévie de notre référentiel stationnaire, par la relativité restreinte il s'ensuit que sa mesure du temps diffère de la notre, ce qui conduit inévitablement à une marge d'erreur. En fait l'analyse détaillée montre que l'imprécision est donnée correctement par la relation d'Heisenberg. Voir par exemple le site de la fondation Nobel pour une figure de cette « horloge dans la boîte ».

Dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, largement acceptée mais pas universellement, le théorème d'incertitude implique qu'à un niveau élémentaire, l'univers physique ne « vit » pas dans un espace des phases, mais plutôt comme un ensemble de réalisations potentielles, exactement déterminées en probabilité : les probabilités sont, elles, déterminées avec une précision absolue, pour autant que l'état du système soit pur (c'est à dire qu'il ne soit pas lui-même déterminé approximativement !)

[modifier] États comprimés

En fait , pour contourner les inégalités d'Heisenberg, les physiciens réalisent des états dits comprimés (en franglais : états « squeezés »), où il n'y a aucune incertitude sur la phase (mais alors le nombre de particules est indéterminé) ou, au contraire, un nombre bien déterminé de particules (en particulier de photons), mais on perd l'information sur la phase. Il a été montré par les travaux de Glauber (prix Nobel 2005) que l'information quantique n'est pas entachée par le théorème d'Heisenberg. On peut donc espérer tirer le maximum d'information quantique d'une photographie numérique, tout en respectant le deuxième principe de la thermodynamique<ref>Voir par exemple les travaux de Claude Fabre (Laboratoire Kastler-Brossel, université Paris 6.</ref>.

[modifier] Claustrophobie quantique

[modifier] Définition

La claustrophobie quantique est la tendance qu'ont les particules à vibrer frénétiquement lorsqu'elles sont confinées dans un milieu très petit. Les systèmes deviennent fluctueux à des échelles microscopiques.

[modifier] <math>\hbar\,</math> ou constante de Planck<ref>Ici nous ne parlons que de la constante de planck réduite (voir Constante de Planck)</ref>

Les fluctuations de ces systèmes sont de l'ordre de 10^-33, autement dit, la constance de Planck. Ce comportement turbulent s'explique par le principe d'incertitude d'Heinsenberg.

Image:Searchtool.svg Voir l’article Fonction d'onde.

[modifier] Conséquences

Cela veut dire, que si ħ était plus grand, ces comportements turbulents se manifesteraient non plus à des échelles subplackienne mais aux échelles macroscopiques. Deux dés dans une boîte se mettraient à virevolter frénétiquement si la constante de Planck était plus élevée.

[modifier] Notes

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliothèque virtuelle

David C. Cassidy ; Werner Heisenberg and the uncertainty principle. Site proposé par l'auteur (Hofstra University) et le Center for History of Physics de l' American Institute of Physics.

[modifier] Bibliographie

David C. Cassidy ; Uncertainty - The life & science of Werner Heisenberg, Freeman & Co. (1992) ISBN 0-7167-2503-7

Werner Heisenberg ; Les principes physiques de la théorie des quanta, Gauthier-Villars (1932). Réédition par Jacques Gabay (1989) ISBN 2-87647-080-2

[VN46] John von Neumann ; Les fondements mathématiques de la mécanique quantique, Springer-Verlag (1932). Traduction française : Librairie Alcan (1946), réédité par Jacques Gabay (1988), ISBN 2-87647-047-0.

[BVN36] George Birkhoff and John von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, Annals of Mathematics 37 (1936), pp. 823-843.

[MA63] George Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin (1963). Réédité par Dover (2004), ISBN 0486435172.

[BE64] John S. Bell ; Phys 1 (1964) 195.

[AS01] Alain Aspect ; Quelques tests expérimentaux des fondements de la mécanique quantique (en optique), Qu'est-ce que l'Univers ?, Vol. 4 de l'Université de Tous les Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001), ISBN 2-7381-0917-9, pp. 589. Dualité onde-corpuscule, intrication quantique & paradoxe E.P.R., par un professeur d'optique à l'Université de Paris-Sud (Orsay), auteur en 1982 d'une remarquable expérience testant les inégalités de Bell des corrélations E.P.R. (expérience en faveur des prédictions de la mécanique quantique. Cette expérience fût améliorée en 1998 par Anton Zeilinger et ses collaborateurs de l'Université d'Innsbrück, Autriche).

[HA97] Serge Haroche, Jean-Michel Raimond & Michel Brune ; Le chat de Schrödinger se prête à l'expérience - Voir en direct le passage du monde quantique au monde classique, La Recherche 301 (Septembre 1997) 50. Lire aussi : Serge Haroche ; Une exploration au cœur du monde quantique, dans : Qu'est-ce que l'Univers ?, Vol. 4 de l'Université de Tous les Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001), ISBN 2-7381-0917-9, pp. 571.

[OM00] Roland Omnès ; Comprendre la mécanique quantique, EDP Sciences (2000) ISBN 2-86883-470-1. Par un professeur de physique théorique émérite de l'Université de Paris-Sud (Orsay), une discussion de l' interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, du problème de la mesure et de la théorie des histoires consistantes de Griffiths et de la décohérence, par l'un de ses pionniers.