Poutre (élément de structure)

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[modifier] Introduction

Dans son expression la plus simple, c'est un élément linéaire de longueur <math>L</math>, de section droite <math>A</math> portant de <math>a</math> à <math>b</math>, sur deux appuis A et B, soumis à une force <math>F_i</math> et à des charges distribuées <math>q_j</math>.

Fig. 1 illustre une poutre simple sur deux appuis soumise à une force <math>F</math> orthogonale à la poutre.

Image:Poutre tv 1.png

Fig. 1: Poutre soumise à une force <math>F_i</math> et à des charges distribuées <math>q_j</math>

[modifier] Effort intérieurs

Si on coupe la poutre représentée en Fig. 1 à un endroit <math>x</math>, il est nécessaire d'introduire:

La force <math>N</math>: force normale ou effort axial,
La force <math>V</math>: force de cisaillement ou effort rasant, tranchant et
Le moment <math>M</math>: moment de flexion

pour formuler l'équilibre; Fig. 2 illustre ceci.

[modifier] Conventions

Pour la détermination des efforts intérieurs de poutres, il est nécessaire d'introduire un formalisme concernant le sens de la poutre considérée ainsi que le signe des efforts intérieurs.

[modifier] Sens positif de poutres

On pourrait définir le sens positif d'une poutre en définissant un axe <math>x</math> dans le sens de la poutre, par exemple de <math>A</math> à <math>B</math> si on considère la poutre en Fig. 2.

Par habitude, on représente le sens positif de poutres de la manière suivante: On trace une ligne en pointillés en dessous de la poutre si le sens positif va de la gauche à la droite ou au dessus de la poutre si le sens positif est de la droite à la gauche.

Dans le cas de poutres horizontales, on met généralement cette ligne en pointillés en dessous, c'est-à-dire que le sens positif va de la gauche à la droite. Fig. 2 illustre ceci.

[modifier] Signe des efforts intérieurs

La convention suivante concernant le signe des efforts est adoptée, elle est illustrée par la Fig. 2 :

Sur le côté gauche : l'effort normal <math>N</math> sort de la poutre, l'effort tranchant <math>V</math> monte vers le haut et le moment <math>M</math> tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ;
Sur le côté droit : l'effort normal <math>N</math> sort de la poutre, l'effort tranchant <math>V</math> va vers le bas et le moment <math>M</math> tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Fig. 2 illustre ceci.

Image:Poutre tv 2.png

Fig. 2: Efforts intérieurs et conventions utilisés

[modifier] Diagrammes des efforts intérieurs

Comme les efforts intérieurs sont en général dépendants de la position <math>x</math> dans la poutre, on représente ces derniers comme des fonctions le long de l'axe des <math>x</math> en traçant des lignes. Il est convenu de tracer les valeurs positives du côté de la ligne en pointillés, les valeurs négatives en dessus, comme l'illustre Fig. 3.

[modifier] Détermination des efforts intérieurs

La détermination des efforts intérieurs repose sur les conditions d'équilibre. Pour cela on suit le procédé suivant :

On détermine les réactions d'appui de la barre sous les charges considérées ;
On coupe la barre à un endroit <math>x</math> ;
On formule l'équilibre à l'aide des conditions d’équilibre du plan puis
On trace les valeurs <math>N(x)</math>, <math>V(x)</math> et <math>M(x)</math> le long de la poutre en suivant la convention ci-dessus.

Il est plus aisé de montrer ce procédé sur des exemples concrets.

[modifier] Barre sur deux appuis avec charge linéaire q

[modifier] Problème

Soit la poutre de longueur <math>L</math> reposant sur deux appuis simples en <math>A</math> et <math>B</math> assujettie à une charge linéaire constante <math>q</math> telle représentée en Fig. 3.

Déterminez les diagrammes de <math>N</math>, <math>V</math> et de <math>M</math> le long de la poutre.

[modifier] Solution

Les réactions d'appuis se déterminent aisément en formulant l'équilibre des moments autour de <math>A</math> une fois et autour de <math>B</math> une deuxième fois :

<math> B \times L - qL \times \frac{L}{2} = 0 </math> donne <math> B = \frac{1}{2}qL </math>
<math> -A \times L + qL \times \frac{L}{2} = 0 </math> donne <math> A = \frac{1}{2}qL </math>

Ensuite on coupe la poutre en la position <math>x</math>, on remplace la partie coupée par les efforts intérieurs <math>N</math>, <math>V</math> et de <math>M</math>, les appuis par les réactions d'appui et on formule l'équilibre :

<math>N(x) = 0</math>
<math>A -V(x) - q \times x = 0</math>
<math>V(x) = q(\frac{1}{2}L - x)</math>
<math>-A \times x + qx \times \frac{x}{2} +M(x) = 0</math>

ce qui donne, avec <math>A=\frac{1}{2}qL</math>, <math>M(x)=\frac{1}{2}qx(L-x)</math>

Fig. 3 représente les efforts intérieurs.

Les efforts normaux <math>N(x)</math> sont nuls tout le long de la poutre.
L'effort de cisaillement est maximal aux appuis : <math>V_A = V(x=0) = +\frac{qL}{2}</math>, respectivement <math>V_B = V(x=L) = -\frac{qL}{2}</math>. Entre ces deux valeurs, <math>V(x)</math> est linéaire, avec <math>V(\frac{L}{2}) = 0</math>.
Le moment <math>M(x)</math> décrit une fonction parabolique le long de la poutre. Sa valeur est maximale en <math>x=\frac{L}{2}</math> ou elle vaut <math>M_{Max} = M(\frac{L}{2})=\frac{1}{2}q\frac{L}{2}(L-\frac{L}{2})=\frac{1}{8}qL^2</math>.

Image:Poutre tv 3.png

Fig. 3: Poutre simple sur deux appuis avec charge linéaire <math>q_i</math>

[modifier] Barre sur deux appuis avec force <math>F</math>

[modifier] Problème

Soit la poutre de longueur <math>L</math> reposant sur deux appuis simples en <math>A</math> et <math>B</math> assujettie à une force <math>F</math> distante de <math>a</math> de <math>A</math> et de <math>b</math> de <math>B</math>. Le système est représenté en Fig. 4.

Déterminez les lignes de <math>N</math>, <math>V</math> et de <math>M</math> le long de la poutre.

[modifier] Solution

La aussi, on détermine en premier lieu les réaction d'appui :

<math>F\times a-B\times L=0</math> donne <math>B = \frac{a}{L}F</math> ou bien <math>B = \frac{a}{a+b}F</math> ;
<math>-A \times L + F \times b = 0</math> donne <math>A = \frac{b}{L}F</math> ou bien <math>A = \frac{b}{a+b}F</math>.

Pour la détermination des efforts intérieurs, il faudra procéder par intervalles. En premier, étudions l'intervalle (1) : <math>0\leq x<a</math> :

<math>N_1(x) = 0</math>
<math>A -V_1(x) = 0</math> qui donne <math>V_1(x)=A</math> <math>V_1(x)=\frac{b}{a+b}F</math> et ensuite
<math>-A \times x + M_1(x) = 0</math> qui donne <math>M_1(x)=x\frac{b}{a+b}F</math>

A présent l'intervalle (2) : <math>a<x\leq L</math> :

<math>N_2(x) = 0</math>
<math>B + V_2(x) = 0</math> qui donne <math>V_2(x) = -B</math> ou bien <math>V_2(x) = -\frac{a}{a+b}F</math>
<math>-B \times (L-x) + M_2(x) = 0</math> qui donne <math>M_2(x) = (L-x)\frac{a}{a+b}F</math>

Comme la force F agit exactement à <math>x\,=\,a</math>, il n'est formellement pas possible de décider à quel intervalle appartient ce point ; l’effort tranchant <math>V(a)</math> à cet endroit est donc indéfini. Notons que l'ambiguïté n'existe que pour <math>V(a)</math>, car :

<math>N_1(a)=N_2(a) = 0</math> est bien défini
<math>M_1(a) = a\frac{b}{a+b}F = \frac{ab}{a+b}F</math> et <math>M_2(a)=(L-a)\frac{a}{a+b}F=\frac{ba}{a+b}F</math> donne <math>M_1(a)=M_2(a)</math> est aussi bien défini

Image:Poutre tv 4.png

Fig. 3: Poutre simple sur deux appuis avec charge <math>F</math>