Poussée d'Archimède

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La poussée d'Archimède est la force résultante exercée sur un corps plongé en tout ou en partie dans un fluide (liquide ou gaz) dans un champ de gravité.

Cette force résulte de la variation de la pression du fluide avec la profondeur : la pression augmente lorsque l'on descend (effet de la gravité sur le fluide, voir l'article hydrostatique), donc la pression sur la face du bas d'un objet immergé est supérieure à la pression sur la face du haut, d'où une force globalement verticale dirigée vers le haut.

Sommaire

1 Histoire et légende
2 Formulation du théorème d'Archimède
3 Démonstration
4 Applications
5 Notes
6 Voir aussi
- 6.1 Liens internes
- 6.2 Liens externes

[modifier] Histoire et légende

[modifier] Archimède

Image:Searchtool.svg Voir l’article Archimède.

Image:Experiment physique principe d Archimede.jpg Archimède est un savant grec qui vécut à Syracuse (Sicile) de 287 av. J.-C. à 212 av. J.-C.. Il est connu pour ses multiples travaux scientifiques, théoriques ou pratiques, que ce soit en mathématique ou bien en physique. Parmi ces derniers, son Traité des corps flottants jette les bases de ce qui sera plus tard la science nommée hydrostatique. C'est notamment dans cet ouvrage qu'il étudie avec rigueur l'immersion d'un corps, solide ou fluide, dans un autre, de densité inférieure, égale. Le Théorème qui portera plus tard le nom du savant y est ainsi énoncé (ce théorème fut ensuite démontré au XVIème siècle).

[modifier] La couronne du roi Hiéron

Vitruve rapporte que le roi Hiéron II de Syracuse (306-214) aurait demandé à son jeune ami et conseiller scientifique Archimède (âgé alors 22 ans seulement) de vérifier si une couronne d'or, qu'il s'était fait confectionner comme offrande à Jupiter, était totalement en or ou bien si l'artisan n'y avait pas mis de l'argent. La vérification avait pour contrainte de ne bien sûr en rien détériorer la couronne. La forme de la couronne était de plus trop complexe pour effectuer un calcul du volume de l'ornement. Archimède aurait trouvé le moyen de vérifier si la couronne était vraiment en or, alors qu'il était au bain public, en observant comment des objets y flottaient. C'est en trouvant la solution qu'il serait alors sorti dans la rue en s'écriant le célèbre 'Eureka' (j'ai trouvé).

Ce que constate Archimède au bain public est que, pour un même volume donné les corps n'ont pas le même poids, c'est-à-dire une masse par volume différente. On parle de nos jours de masse volumique. L'argent (masse volumique 10 500 kg.m^-3) étant moins dense que l'or (masse volumique 19 300 kg.m^-3), il a donc une masse volumique plus faible. De là Archimède en déduit que si l'artisan a caché de l'argent dans la couronne du roi, alors elle a une masse volumique plus faible. Ainsi fut découverte la supercherie du joaillier.

[modifier] La solution au problème

Pour répondre à la question du roi Hiéron, Archimède a donc pu comparer les volumes d'eau déplacés par la couronne et une masse d'or identique. Si les deux déplacent le même volume d'eau, leur masse volumique est alors égale et on peut en conclure que les deux sont composées du même métal. Pour réaliser l'expérience, on peut imaginer plonger un récipient rempli à ras-bord la masse d'or. Une certaine quantité d'eau débordera alors du récipient. Ensuite, on retire l'or et on le remplace par la couronne à étudier. Si la couronne est bien totalement en or, alors l'eau ne débordera pas. Par contre, si sa densité est plus faible, de l'eau supplémentaire débordera.

Cette méthode présente deux inconviénents. Le premier est qu'elle ne fait ici intervenir en rien le principe d'Archimède. Le second problème est qu'avec des conditions réalistes, en raison de la forme de la couronne et de la densité de l'or, la hauteur d'eau déplacée est très faible (inférieur au millimètre). Il est donc peu probable qu'Archimède aie pu tirer des conclusions significatives à partir d'une telle expérience.

Une méthode plus réaliste est la suivante. En disposant sur chaque bras d'une balance la couronne d'un côté et son poids égal en or, l'équilibre est initialement obtenu. Ensuite, on peut immerger les deux bras dans de l'eau. Si la couronne et l'or ont la même masse volumique, alors la poussée d'Archimède sera égale sur les deux bras de la balance et l'équilibre sera respecté. Si la couronne ne contient pas uniquement de l'or, alors elle subira une poussée d'Archimède plus importante et un déséquilibre sera alors visible.

[modifier] Autres propositions du traité des corps flottants

Le traité des corps flottants contient d'autres propositions relatives au théorèmes d'Archimède :

Proposition III : Un solide de même volume et de même poids (en fait de même masse volumique) que le liquide dans lequel il est abandonné y enfoncera de façon à n’émerger nullement au-dessus de la surface, mais à ne pas descendre plus bas.
Proposition IV: Tout corps plus léger que le liquide où il est abandonné ne sera pas complètement immergé, mais restera en partie au-dessus de la surface du liquide.
Proposition V : Un solide plus léger que le liquide dans lequel on l’abandonne y enfonce de telle façon qu’un volume de liquide égal à la partie immergée ait le même poids que le solide entier.
Proposition VI : Lorsqu’un corps est plus léger que le liquide où on l’enfonce et remonte à la surface, la force qui pousse en haut ce corps a pour mesure la quantité dont le poids d’un égal volume de liquide surpasse le poids même du corps.
Proposition VII : Un corps plus lourd que le liquide où on l’abandonne descendra au fond et son poids, dans le liquide, diminuera d’une quantité mesurée, par ce que pèse un volume de liquide égal à celui du corps.

[modifier] Formulation du théorème d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et égale au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée « poussée d'Archimède ».

La poussée d'Archimède <math>P_A~</math> (exprimée en Newton N) s'exprime à l'aide du volume de fluide déplacé <math>V~</math> (en dm³ ou en litre), de sa masse volumique <math>\rho~</math> (en kg par L ou dm³) et de la valeur de la pesanteur <math>g~</math> (en N/kg ou m/s²) grâce à la formule suivante :

[modifier] Démonstration

[modifier] Expérience de pensée

Considérons un fluide au repos. Délimitons, par une expérience de pensée, un certain volume de forme quelconque au sein de ce fluide. Ce volume est lui aussi au repos : malgré son poids, ce volume ne tombe pas. Cela signifie donc que son poids est rigoureusement équilibré par une force, égale et opposée, qui le maintient sur place, et qui ne provient que de l'extérieur. Remplaçons maintenant, toujours dans notre expérience de pensée, ce volume par un corps quelconque : la force qui maintenait le fluide est toujours là, elle n'a aucune raison d'avoir changé : elle est toujours égale et opposée au poids de fluide déplacé. C'est la force d'Archimède.

[modifier] Idée de calcul

Dans le cas d'un liquide incompressible au repos situé dans un champ de pesanteur uniforme, la pression absolue p vaut

où p₀ est la pression atmosphérique, ρ est la masse volumique du fluide, g est l'accélération de la gravité, z est la profondeur dans le fluide et <math>\rho \cdot g \cdot z</math> est la pression hydrostatique.

Supposons un cube d'arête a dont une des faces est parallèle à la surface. On immerge le cube entièrement, la face du haut étant à une profondeur z > 0 (le sens positif est vers le bas). Les forces de pression exercées sur les faces latérales s'annulent.

La force F₁ s'exerçant sur la face du haut vaut

a² étant l'aire de la face. La force F₂ s'exerçant sur la face du bas est

Le bilan est

où V = a³ est le volume du cube, c'est-à-dire le volume immergé. La force résultante ρ g V est bien le poids du fluide représentant un volume V, et étant négative, elle est bien dirigée du bas vers le haut.

On peut étendre cette démonstration à un objet de forme quelconque en intégrant le vecteur force calculé sur des surfaces infinitésimales dS supposées planes.

[modifier] Démonstration plus générale

En effet, supposons un volume quelconque <math>V~</math>, délimité par une surface fermée <math>\Sigma~</math>, plongé entièrement dans un fluide de masse volumique <math>\rho~</math> dans un champ de pesanteur uniforme.

On cherche à déterminer la résultante des forces de pression <math>\vec{F} = \int_{\Sigma} d\vec{f}</math>. Par définition de la pression, on a <math>d\vec{f} = p\;\;d\vec{S}</math> où <math>d\vec{S}</math> est un élément infinitésimal de la surface considérée. On cherche donc à déterminer <math> \vec{F} = \int_{\Sigma} p\;\;d\vec{S}</math>

Supposons maintenant un champ de vecteurs <math>\vec{a}</math>, quelconque et uniforme.

Calculons <math> I =\left ( \int_{\Sigma} p \;\; d\vec{S} \right ).\vec{a} = \int_{\Sigma} p \;\; \vec{a}.d\vec{S} </math> car <math> \vec{a}</math> uniforme.

En utilisant le théorème d'Ostrogradsky, on a <math> I = \int_{V} div(p\vec{a}) d\tau = \int_{V} \left [\vec{grad} (p) . \vec{a} + p. div (\vec{a}) \right ] d\tau </math> d'après une formule de Leibniz.

Or <math> \vec{a} </math> est un champ uniforme, donc de divergence nulle, on a alors :

<math> I = \int_{V} \vec{grad} (p) . \vec{a} d\tau = \left ( \int_{V} \vec{grad} (p) d\tau \right ) . \vec{a} </math> car <math> \vec{a} </math> toujours uniforme.

On a donc, pour tout champ de vecteur uniforme <math> \vec{a} </math> : <math> \left ( \int_{\Sigma} p\;\;d\vec{S} \right ).\vec{a} = \left ( \int_{V} \vec{grad} (p) d\tau \right ) . \vec{a}</math>

On en déduit donc <math> \vec{F} = \int_{\Sigma} p.d\vec{S} = \int_{V} \vec{grad} (p) d\tau </math>

Or, d'après la loi fondamentale de l'hydrostatique, <math> \vec{grad} (p) = \rho \;\; \vec{g} </math>

D'où <math> \vec{F}= \int_{V} \rho \;\; \vec{g} \;\; d\tau = </math> "Poids du volume de fluide déplacé"

[modifier] Applications

[modifier] La flottaison des corps

Image:Principio di Archimede spinta e peso.png

La poussée d'Archimède explique la flottaison des corps dans un fluide. Ainsi certains bois flottent car à même volume la masse d'eau est plus importante que la masse de bois (on dit que le bois est moins dense que l'eau). Il y a alors équilibre des deux forces verticales, elles s'annulent lorsque le volume d'eau déplacé a même masse que la quantité de bois immergée (le reste de bois est donc au-dessus de l'eau, Cet état d'équilibre est expliqué par la deuxième des lois de Newton.

Si la densité de l'objet est supérieure à celle du fluide, la résultante poids <math>F_p</math> + poussée d'Archimède <math>F_a</math> est dirigée vers le bas l'objet "descend"

Si la densité de l'objet est égale à celle du fluide, la résultante poids <math>F_p</math> + poussée d'Archimède <math>F_a</math> est nulle, l'objet est immobile, en impesanteur (cas du bateau traversant la surface libre, le sous marin stationnaire étant, en l'absence de vitesse horizontale, en équilibre théoriquement indifférent),

Si la densité de l'objet est inférieure à celle du fluide, la résultante poids <math>F_p</math> + poussée d'Archimède <math>F_a</math> est dirigée vers le haut et l'objet "remonte"

[modifier] Exemple d'un solide flottant à la surface d'un liquide

Image:Principio di Archimede galleggiamento.png

Considérons un solide de volume <math>V~</math> et de masse volumique <math>\rho_S~</math> dans un liquide de masse volumique <math>\rho_L~</math>. Le solide flotte, donc <math>\rho_S~</math> < <math>\rho_L~</math> et un volume <math>V_i~</math> est immergé. Le poids est alors égal à la poussée d'Archimède : <math>F_p = F_a~</math>, si bien que <math>\rho_S~ V \; g = \rho_L~ \; V_i \; g</math>

d'où <math>V_i~ = V \; \rho_S~ \; / \; \rho_L~</math>.

application au cas d'un iceberg : Soit un morceau de glace pure à 0°C, de masse volumique <math>\rho_S~</math> = 0.917 kg.dm^-3, dans de l'eau pure de masse volumique <math>\rho_L~</math> = 1 kg.dm^-3 (dans le cas de l'eau de mer, <math>\rho_L~</math> = 1.025 kg.dm^-3), le rapport <math>\rho_S~ / \rho_L~</math> (c'est à dire ici la densité) est de 0.917 si bien que le volume immergé <math>V_i~</math> représente plus de 90% du volume total <math>V~</math> de l'iceberg.

[modifier] Autres exemples d'application de la Poussée d'Archimède

Image:Dead sea newspaper.jpg

Le principe d'Archimède s'applique à des fluides, c'est à dire aussi bien à des liquides qu'à des gaz. C'est ainsi grâce à la poussée d'Archimède qu'une montgolfière ou un dirigeable peuvent s'élever dans les airs (dans les deux cas, un gaz de masse volumique plus faible que l'air est utilisé, que ce soit de l'air chauffé ou bien de l'hélium).
Un plongeur se met à "couler" vers -12 m dans l'Atlantique ou la Méditerranée car sa densité augmente avec la profondeur (à cause de la compression croissante, particulièrement des bulles contenues dans le néoprène de sa combinaison : sa masse ne change pas mais son volume diminue) jusqu'à atteindre et dépasser celle du milieu ambiant.
L'eau douce ayant une masse volumique plus faible que l'eau salée, la poussée d'Archimède est plus forte dans la mer Morte (mer la plus salée du monde), que dans un lac. Il est donc plus facile d'y flotter.
Les spationautes s'entraînent aux exercices dans l'espace dans des piscines où ils peuvent connaître l'impesanteur.
Le poids des navires (et donc leur masse volumique) variant suivant qu'ils soient en charge ou sur lest, la poussée d'Archimède va également varier. Pour maintenir un niveau de flottaison (tirant d'eau) constant et assumer une meilleure stabilité, les navires sont pourvus de ballasts qu'ils peuvent remplir ou vider suivant leur cargaison ou la salinité de l'eau dans laquelle ils naviguent.(Voir aussi carène).
Les sous-marins contrôlent leur masse volumique en utilisant également des ballasts.

[modifier] Point d'application

Tout se passe comme si la poussée d'Archimède s'appliquait au centre de carène, c'est à dire au centre de gravité du volume de fluide déplacé<ref>La poussée d'Archimède n'est pas une "vraie" force (comme le poids), mais une résultante. Elle n'a donc pas à proprement parler de point d'application.</ref>.

Cette caractéristique est importante pour le calcul de la stabilité d'un sous-marin en plongée ou d'un aérostat à faible altitude : sous peine de voir l'engin se retourner, il est nécessaire que le centre de carène soit situé au dessus du centre de gravité.

Pour ce qui est d'un navire ou d'un aérostat en haute altitude, par contre, le centre de carène est souvent situé au dessous du centre de gravité (par exemple pour une planche à voile). Cependant, lorsque la pénétration de l'objet dans le fluide évolue, le centre de carène se déplace créant un couple qui vient s'opposer au mouvement. La stabilité est alors assurée par la position du métacentre qui est le point d'application des variations de la poussée. Ce métacentre doit se trouver au dessus du centre de gravité.

De façon anecdotique, on peut remarquer que les concepteurs d'aérostat et de sous-marins doivent s'assurer simultanément de deux types d'équilibres pour leurs engins.