Plan (mathématiques)

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Un plan dans un espace euclidien à trois dimensions

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En mathématiques, un plan est un objet fondamental à deux dimensions. Intuitivement il peut être visualisé comme une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend à l'infini. L'essentiel du travail fondamental en géométrie et en trigonométrie s'effectue en deux dimensions donc dans un plan.

Sommaire

1 Définitions
2 Positions relatives de deux plans
3 Positions relatives d'un plan et d'une droite
4 Équations dans un espace de dimension trois
- 4.1 Définition par deux vecteurs et un point
  - 4.1.1 Combinaison linéaire
  - 4.1.2 Coplanarité
- 4.2 Définition par un vecteur normal et un point
  - 4.2.1 Orthogonalité
5 Voir aussi
- 5.1 Liens externes

[modifier] Définitions

Il existe de nombreuses manières de définir un plan, notamment :

Trois points distincts et non alignés;
Une droite et un point n'appartenant pas à cette droite;
Deux droites non confondues et sécantes;
Deux droites non confondues et parallèles;
Un point et un vecteur normal;
Un point et deux vecteurs non colinéaires.

Par la suite, nous utiliserons les deux dernières définitions pour l'élaboration des équations du plan.

[modifier] Positions relatives de deux plans

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives de deux plans :

parallèles : strictement (intersection vide) ou bien confondus;
sécants : leur intersection est alors une droite. Ils peuvent être orthogonaux (une droite de l'un est orthogonale à deux droites sécantes de l'autre).

[modifier] Positions relatives d'un plan et d'une droite

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives d'un plan et d'une droite :

parallèles : leur intersection est soit vide, soit la droite tout entière (droite incluse dans le plan);
sécants : leur intersection est un point.

[modifier] Équations dans un espace de dimension trois

[modifier] Définition par deux vecteurs et un point

Soit un point <math>A(a_1;a_2;a_3)\,</math> par lequel passe le plan et <math>\vec u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{bmatrix}</math> et <math>\vec v = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix}</math> les vecteurs directeurs non colinéaires qui définissent son orientation.

[modifier] Combinaison linéaire

Le plan passant par <math>A</math>, de vecteurs directeurs <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math>, est l'ensemble <math>\Pi\,</math> des points <math>M(x;y;z)\,</math> pour lesquels il existe deux scalaires <math>\lambda\,</math> et <math>\mu\,</math> tel que :

<math>\Pi : \vec{OM} = \vec{OA} + \lambda\vec u + \mu\vec v</math> (équation vectorielle)

<math>\Pi : \begin{cases}

x = a_1 + \lambda v_1 + \mu u_1 \\ y = a_2 + \lambda v_2 + \mu u_2 \\ z = a_3 + \lambda v_3 + \mu u_3 \end{cases}\quad \mbox{avec } (\lambda,\mu)\in\R^2</math> (équations paramétriques)

[modifier] Coplanarité

Soit <math>M(x;y;z)\,</math> un point quelconque du plan et <math>\vec{AM} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix}</math> le vecteur défini par le bipoint <math>(A;M)\,</math>.

Pour que ces trois vecteurs soient coplanaires, il faut que leur produit mixte soit nul :

<math>(\vec{AM} \times \vec u) \cdot \vec v = [\vec{AM},\vec u,\vec v] = 0</math>

<math>= \begin{vmatrix}

x-a_1 && u_1 && v_1 \\ y-a_2 && u_2 && v_2 \\ z-a_3 && u_3 && v_3 \end{vmatrix} = u_2v_3(x-a_1) + u_3v_1(y-a_2) + u_1v_2(z-a_3) - u_2v_1(z-a_3) - u_3v_2(x-a_1) - u_1v_3(y-a_2)</math> En mettant en évidence les termes :

On distingue 4 parties, 4 nombres que nous appellerons <math>A, B, C, D</math>. Nous pouvons ainsi écrire l'équation cartésienne du plan :

Nous remarquons en outre que les nombres A,B et C sont les composantes du vecteur <math>\vec u \wedge \vec v</math>, le résultat du produit vectoriel des deux vecteurs directeurs. Celui-ci étant orthogonal au plan, on définit le vecteur normal au plan :

<math>\vec n = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \cdot \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}</math>

[modifier] Définition par un vecteur normal et un point

[modifier] Orthogonalité

Le plan passant par <math>A(a_1;a_2;a_3)\,</math>, de vecteur normal <math>\vec n</math>, est l'ensemble <math>\Pi\,</math> des points <math>M(x;y;z)\,</math> pour lesquels le vecteur les reliant au point A est orthogonal au vecteur normal; autrement dit pour lesquels le produit scalaire entre ces vecteurs est nul :

avec

<math>\vec{AM} = \vec{OM}-\vec{OA} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix}</math>

Cette définition amène ainsi à l'équation cartésienne :

<math>\Rightarrow n_1x+n_2y+n_3z-(n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3) = 0\,</math>

On identifie généralement le quadruplet <math>(n_1;n_2;n_3;-\vec n\cdot\vec{OA})</math> aux lettres <math>(A,B,C,D)\,</math> et on appelle équation cartésienne du plan l'équation :