Parabole
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La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et ont reçu des applications techniques variées.
Sommaire |
[modifier] Mathématiques
[modifier] Section conique
Les paraboles font partie de la famille des coniques, c'est-à-dire des courbes qui s'obtiennent par l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ; en l'occurrence, la parabole est obtenue lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône.
[modifier] Directrice, foyer et excentricité
Soient <math>D</math> une droite et <math>F</math> un point n'appartenant pas à <math>D</math>, et soit P le plan contenant la droite <math>D</math> et le point <math>F</math>). On appelle parabole de droite directrice <math>D</math> et de foyer <math>F</math> l'ensemble des points <math>M</math> du plan P vérifiant :
- <math>\qquad \frac{d(M,F)}{d(M,D)} = 1</math>
où <math>d(M,F)</math> mesure la distance du point M au point F et <math>d(M,D)</math> mesure la distance du point M à la droite D. C'est donc une conique dont l'excentricité e vaut 1
[modifier] Équations
[modifier] À partir du foyer et de la directrice
Si la parabole est donnée par son foyer F et sa directrice <math>\mathcal D</math>, on appelle O le projeté orthogonal de F sur <math>\mathcal D</math>, on appelle p (paramètre de la parabole) la distance OF et on appelle S le milieu de [FO]. Alors, dans le repère orthonormé <math>(S,\vec i, \vec j)</math> où <math>\vec j</math> a même direction et sens que <math>\overrightarrow{OF}</math>, l'équation de la parabole est :
- <math>y = \frac{x^2}{2p}</math>
[modifier] À partir de la fonction du second degré
La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré d'équation
- y = a.x2 + b.x + c
où a, b et c sont des constantes réelles (a non nul) est une parabole. Dans le cas a = 1, b = 0, et c = 0 on obtient une expression simple pour une parabole: y = x2.
Le sommet S d'une parabole est le point de coordonnées <math>\left(- \frac{b}{2a}; -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)</math>. Son axe de symétrie est l'axe <math>(S\vec j)</math>. Dans le repère <math>(S,\vec i, \vec j)</math>, son équation est
- <math>Y = aX^2</math>
Son foyer est le point <math>F(0;\frac{1}{4a})</math> et sa directrice est la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>Y = - \frac{1}{4a}</math>
[modifier] À partir de l'équation générale
Soit l'équation <math>Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey +F = 0</math>, dans un repère orthonormal. Si <math>B^2 - AC = 0</math> alors cette équation est celle d'une parabole ou de deux droites parallèles.
Soit l'équation <math>Ax^2 + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0</math>, dans un repère orthonormal. Si AC = 0 avec AE ou DC non nul alors cette équation est celle d'une parabole.
Enfin, dans tout repère orthonormal, l'équation d'une parabole est de la forme
- <math>Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx+2Ey+F= 0</math> avec <math>B^2 - AC = 0</math>.
[modifier] Paramétrisation
Dans le repère<math> (O, \vec i, \vec j)</math> où O est le le point situé au milieu du segment constitué du foyer F et de sa projection H sur la directrice et où<math> \vec i</math> est un vecteur unitaire orienté de O vers F, on peut envisager plusieurs paramétrisations de la parabole :
- Une paramétrisation cartésienne par l'ordonnée : <math>\overrightarrow{OP}(y)=\frac{y^2}{2p}\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}</math>.
- La paramétrisation : <math>\left\{
\begin{matrix} x=\frac 12 pt^2\\ y=pt \end{matrix}\right.</math>, pour tout <math>t\in\R</math> Cette paramétrisation est régulière (i.e. le vecteur dérivé ne s'annule pas). Le vecteur <math>(t,1)\,</math> dirige alors la tangente au point de paramètre <math>t</math>.
[modifier] Quelques propriétés géométriques de la parabole
[modifier] Cordes parallèles
Toutes les cordes parallèles ont leur milieu situé sur une droite perpendiculaire à la directrice. La tangente parallèle à cette direction a son point de contact sur cette droite. Les deux tangentes à la parabole aux extrémités d'une telle corde se coupent sur cette droite.
[modifier] Applications
[modifier] Physique
Image:Tir parabòlic.jpg La parabole est la trajectoire décrite par un objet que l'on lance si on peut négliger la courbure de la Terre, le frottement de l'air (vent, ralentissement de l'objet) et la variation de la gravité avec la hauteur.
A noter également que l'énergie mécanique pour un objet décrivant une parabole est toujours nulle.
[modifier] Ondes hertziennes
Par métonymie, une parabole désigne une antenne parabolique. Il s'agit plus exactement d'une application des propriétés de la surface nommée paraboloïde de révolution.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Articles connexes
[modifier] Liens externes
- Cours de géométrie de M. Gerhard Wanner de l'université de Genève, section de mathématiques
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- Hypotrochoïde - Spirale (dont Spirale logarithmique, Spirale d'Archimède) - Hélice | |||
| Lemniscate (dont Lemniscate de Gerono, Lemniscate de Booth, Lemniscate logarithmique, Courbe du diable) | |||
| Trajectoire - Ovale de Cassini - Chaînette - Courbe brachistochrone | |||
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