Orthogonalité

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<math>(E,(.|.))</math> désignera un espace préhilbertien sur un corps <math>(\mathbb K,+,\bullet )</math> (<math>E</math> est un <math>\mathbb K</math>-espace vectoriel).

Sommaire

1 Orthogonalité
2 Familles orthogonales, normées, orthonormales
3 Parties orthogonales
4 Informatique

[modifier] Orthogonalité

Deux vecteurs <math>x</math> et <math>y</math> de E sont dits orthogonaux lorsque <math>(x|y)=0</math>. On note <math>x\perp y</math>.

<math>0_{E}</math> est le seul vecteur orthogonal à tout vecteur de <math>E</math> : <math>((x \in E) \and (\forall y \in E, (x|y)=0)) \Longrightarrow (x|x)=0 \Longrightarrow x=0_{E}</math>

[modifier] Familles orthogonales, normées, orthonormales

Dans toute cette partie, <math>I</math> désigne un ensemble non vide.

[modifier] Définitions

Soit <math>(x_{i})_{i \in I}</math> une famille de vecteurs d'un espace préhilbertien <math>(E,(.|.))</math> indexés par I, alors :

<math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille orthogonale <math>\Longleftrightarrow (\forall (i,j)\in I^2, i \neq j \Longrightarrow (x_{i}|x_{j})=0)</math>

<math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille normée <math>\Longleftrightarrow \forall i \in I, ||x_{i}||^{2}=1</math>

<math>(a_{i})_{i \in I}</math> est une famille orthonormée (ou orthonormale)<math>\Longleftrightarrow \forall (i,j) \in I^{2}, (a_{i}|a_{j})= \delta_{ij}\Longleftrightarrow (a_{i})_{i \in I}</math> est une famille orthogonale, et : <math>\forall i \in I, ||x_{i}||=1</math>. Avec <math>\delta_{ij}=1</math> si <math>j=i</math>, <math>0</math> sinon.

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Toute famille orthonormée est donc libre.

[modifier] Théorème de Pythagore

La propriété fondamentale des familles orthogonales est bien-sûr le théorème de Pythagore :

Si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille orthogonale finie (<math>card(I)=n</math>, identifié alors à <math>1,n</math>) d'un espace préhilbertien <math>(E,(.|.))</math> alors :

<math> \left\| \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right\|^{2} = \sum_{i=1}^{n} \|x_{i}\|^{2} </math>

Attention : La réciproque est vraie si et seulement si <math>n\le2</math>.

[modifier] Théorème de Gram-Schmidt

Soit <math>(e_{i})_{i \in \N_{n}}</math> une famille libre, il existe une famille <math>(b_{i})_{i \in \N_{n}}</math> telle que :

<math>(b_{i})_{i \in \N_{n}}</math> orthogonale et <math>\forall i \in \N_{n}, b_{i} \neq 0_{E}</math>

et <math>\forall p\in [\![1,n]\!], Vect((b_{i})_{i \in \N_{p}}) = Vect((e_{i})_{i \in \N_{p}})</math>

La condition <math>\forall i \in \N_{n}, (a_i|b_{i}) > 0_{E}</math> assure par ailleurs l'unicité d'une telle <math>(b_{i})_{i \in \N_{n}}</math>. Cette nouvelle famille orthonormée obtenue est alors appelée l'orthonormalisée au sens de Schmidt de la famille <math>(e_{i})_{i \in \N_{n}}</math>.

[modifier] Parties orthogonales

Soient <math>A</math> et <math>B</math> des sous-ensembles de <math>E</math>.

[modifier] Définitions

<math> A^{\perp}=\{x \in E | \forall a \in A, (x|a)=0 \} </math>

<math>A^{\perp}</math> est appelé orthogonal de A. C'est l'ensemble des vecteurs de E orthogonaux à la partie A de E. On le notait parfois <math>A^{o}</math>.

<math>x \in E</math> est orthogonal à la partie <math>A</math> de <math>E</math> si <math>\forall a \in A, (x|a)=0</math>.

Les parties <math>A</math> et <math>B</math> de <math>E</math> sont orthogonales si <math>\forall (a,b) \in A \times B, (a|b)=0</math>.

[modifier] Propriétés

<math> A^{\perp}</math> est un sous-espace vectoriel de <math>E</math>.

<math>A \subset B \Longrightarrow B^{\perp} \subset A^{\perp}</math>.

Si, <math>a \in E</math>,<math>a \neq 0_{E}</math>, alors <math>a^{\perp}</math> est un hyperplan de <math>E</math>.

Si E est supposé de dimension finie :

<math> \dim A^{\perp}= \dim E - \dim A </math> (=codim A)

<math> E = A {\oplus} A^{\perp} </math>

<math> (A^{\perp})^{\perp}=A</math> (en général faux en dimension quelconque)

[modifier] Voir aussi

[modifier] Informatique

Le jeu d'instructions d'un ordinateur est dit orthogonal lorsque (presque) toutes les instructions peuvent s'appliquer à tous les types de données. Un jeu d'instruction orthogonal simplifie la tâche du compilateur puisqu'il y à moins de cas particuliers à traiter : les opérations peuvent être appliquées telles quelles à n'importe quel type de donnée. Un exemple typique est le VAX ou le PDP-10.

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