Notation (mathématiques)

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On utilise en mathématiques un ensemble de notations pour condenser les énoncés et les démonstrations.

Quand deux traductions d'une notation sont données, l'une est la traduction mot-à-mot et l'autre est la traduction naturelle.

Sommaire

1 Opérateurs logiques
2 Ensembles
- 2.1 Ensembles usuels
- 2.2 Relations sur les ensembles
3 Quantificateurs
4 Voir aussi

[modifier] Opérateurs logiques

Voir algèbre de Boole pour plus de détails.

<math>\land</math>, et.
<math>\lor</math>, ou.
<math>\Rightarrow</math>, implique.
<math>\Leftrightarrow</math>, équivaut à.

[modifier] Ensembles

[modifier] Ensembles usuels

<math>\mathbb{N}</math>, ensemble des entiers naturels.
<math>\mathbb{Z}</math>, ensemble des entiers relatifs.
<math>\mathbb{Q}</math>, ensemble des rationnels.
<math>\mathbb{R}</math>, ensemble des nombres réels.
<math>\mathbb{R_+}</math>, ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
<math>\mathbb{R_-}</math>, ensemble des nombres réels négatifs ou nuls.
<math>\mathbb{C}</math>, ensemble des nombres complexes.
<math>\mathbb{N^*}, \mathbb{Z^*}, \mathbb{Q^*}, \mathbb{R^*}, \mathbb{R_{+}^*}, \mathbb{R_{-}^*}, \mathbb{C^*}</math>, les mêmes ensembles privés de zéro.

[modifier] Relations sur les ensembles

<math>\in</math>, appartenance.

<math>n\in\mathbb{N}</math>

n appartient à l'ensemble des entiers naturels.
n est un entier naturel.

<math>\subset</math>, inclusion.

<math>\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}</math>

<math>\mathbb{Z}</math> est inclus dans <math>\mathbb{Q}</math>.
Les entiers relatifs sont des rationnels.

[modifier] Quantificateurs

Voir calcul des prédicats pour un point de vue plus théorique sur ces notations.

[modifier] Pour tout

[modifier] Notation

<math>\forall</math>, pour tout, quel que soit.

[modifier] Exemples

<math>\forall n, ( n\in\mathbb{N} \Rightarrow n\ge 0 ) </math>

Quel que soit n entier naturel, n est supérieur ou égal à zéro.
<math>\mathbb{N}</math> est minoré par zéro.

<math>\forall n\in\mathbb{N}, n\ge 0 </math>

Forme condensée.

<math>\forall a\in\mathbb{R}, ( a \le 0 \land a \ge 0 \Rightarrow a = 0 )</math>

Pour tout réel a, si a est supérieur ou égal à zéro, et si a est inférieur ou égal à zéro, alors a est nul.
Tout réel à la fois supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à zéro est nul.

[modifier] Il existe

[modifier] Notation

<math>\exists </math>, il existe (au moins un).

<math>\exists !</math>, il existe un et un seul.

[modifier] Exemples

<math>\exists n, n\in\mathbb{N}</math>

Il existe un élément dans <math>\mathbb{N}</math>.
<math>\mathbb{N}</math> est non vide.

<math>\exists x, x\in\mathbb{R} \land x \ge 1</math>

Il existe un réel x tel que x soit plus grand ou égal à un.
<math>\mathbb{R}</math> n'est pas majoré par 1.

<math>\exists x\in\mathbb{R}, x \ge 1</math>

Forme condensée.

<math>\forall x\in\mathbb{R}, \exists ! n\in\mathbb{Z}, n \le x < n+1</math>

Pour tout réel x, il existe un unique entier n tel que n soit inférieur ou égal à x et n + 1 strictement supérieur.

[modifier] Exemples généraux

<math>\forall n \in\mathbb{N}, \exists m\in\mathbb{N}, m \ge n</math>

Pour tout entier naturel n, il existe un autre entier naturel m tel que m soit supérieur ou égal à n.
Tout entier naturel est inférieur ou égal à au moins un autre entier naturel.

<math>\exists m\in\mathbb{N}, \forall n \in\mathbb{N}, m \ge n</math>

Il existe un entier naturel m tel que quel que soit l'entier naturel n, m soit plus grand que n.
<math>\mathbb{N}</math> est majoré.

On notera donc que l'ordre des quantificateurs est important : la première proposition est vraie, l'autre est fausse.

<math>\forall (a,l)\in\mathbb{R}^2, \exists f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \forall \epsilon \in \mathbb{R_+^*}, \exists \alpha\in\mathbb{R_+^*}, \forall x\in[a-\alpha,a+\alpha], |f(x)-l|\le\epsilon</math>