Norme (arithmétique)
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En arithmétique, la norme relative est une application d'un sur-corps L vers un sous-corps K d'une extension. Cette application intervient de façon cruciale dans la théorie des corps de classes : les sous-extensions abéliennes d'une extension donnée sont essentiellement en correspondance avec des groupes de normes, c'est-à-dire l'image dans le sous-corps par la norme de certains groupes du sur-corps.
Précisément, la norme d'un élément de L est définie comme le déterminant du K-endomorphisme de multiplication par cet élément. Elle peut donc aussi être vue comme le terme constant du polynôme caractéristique de cet endomorphisme. Dans le cas d'une extension galoisienne, on en déduit que la norme est le produit de tous les conjugués de l'élément.
Cette notion s'étend en une notion de norme d'un idéal, définie pour les idéaux premiers comme le cardinal du corps résiduel, puis par multiplicativité, pour les idéaux composés. La norme d'un idéal principal est alors égale à la norme relative sur <math>\mathbb{Q}</math> d'un générateur de cet idéal. La démonstration de la finitude du groupe des classes utilise des propriétés de majoration de la norme des idéaux dans une classe donnée.de:Norm (Körpererweiterung) en:Field norm ja:ノルム (体論)
