Nombre complexe

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En mathématiques, les nombres complexes sont une extension naturelle des nombres réels apparus comme intermédiaires de calcul pour résoudre des équations du troisième degré dont on connaissait des solutions mais pour lesquelles l’application des formules de Cardan faisait appel à des racines dont les carrés seraient négatifs.

Une conséquence immédiatement visible est que si l'on peut définir, dans le corps des réels, des relations d’ordre compatibles avec l’addition et la multiplication, cela n’est plus possible dans le corps des complexes.

Géométriquement, tout nombre complexe peut être représenté comme un point dans un plan appelé le plan complexe. L'ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite du plan complexe.

Les nombres complexes ont de riches propriétés algébriques et analytiques. Le théorème fondamental de l'algèbre établit que tout polynôme non constant permet autant de racines complexes que son degré. L'étude des fonctions dérivables au sens complexe, les fonctions holomorphes, est une branche des mathématiques appelée analyse complexe.

Les nombres complexes furent « inventés » au XVI^e siècle par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaires de calcul pour trouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semblerait que ce soit Héron d'Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. L'aspect géométrique des nombres complexes ne se développe qu'à partir du XIX^e siècle chez l'abbé Buée et Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis ensuite chez Gauss et chez Cauchy.

[modifier] Approche vulgarisée des nombres complexes

Les nombres complexes, comme tout concept mathématique, constituent à la fois une théorie et un outil potentiel. Pour les physiciens, par exemple, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations : on manipule deux valeurs distinctes avec un seul nom, une rotation s’exprime par une simple multiplication, etc. Il est ainsi très difficile d'étudier la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes.

Il est toutefois utile de les voir autrement que comme une boîte noire (au sens de Norbert Wiener) commode. En effet, ils présentent un aspect double :

de par leur notation et la facilité de manipulation, ils sont semblables aux nombres « classiques » (entiers, réels…) ;
de par leur génération, ils ne représentent rien de concret, et sont une pure abstraction.

Nous allons essayer, dans cette partie, d'avoir une approche rigoureuse mais se raccrochant à des concepts mieux maîtrisés, en suivant le cheminement indiqué par Albert Jacquard <ref>Science à l'usage des non-scientifiques, Albert Jacquard, 2003</ref>.

[modifier] x et i

Lorsqu'on manipule les x d’une équation, d'une inéquation ou d'un système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu. Parfois, on arrive à la conclusion qu'un nombre satisfaisant les équations considérées n’existe pas ; prenons un exemple simple, qui va nous servir de fil conducteur : <math>x^2+1=0</math> ; on a donc manipulé un objet inexistant, « imaginaire ». On l’a additionné, multiplié… bien qu’il n’existe pas dans les nombres réels. On a donc parlé d'un nombre imaginaire.

Ce nombre imaginaire était censé, dans notre exemple, être l'une des deux solutions (on vérifie que, s’il y en a une, son opposé en est une aussi) d’une équation dont on sait qu’elle n’a pas de racine réelle :

x² + 1 = 0 (1)

Donnons un nom à une solution, pour le moment imaginaire : on l'appelle i pour « imaginaire ».(Historiquement, i est l’initiale du mot « impossible » et non pas « imaginaire »).

Or, dans les calculs des algébristes italiens sur la résolution de l'équation du troisième degré ( Théorème de Cardan ), ce nombre s’élimine parfois à la fin, il n'apparaît pas dans le résultat final ; il n'aura été qu'un intermédiaire de calcul, un « catalyseur », un x manipulé comme tant d'autres. Cependant, dans d'autres cas, il subsiste : on obtient alors des expressions construites à partir de i par des additions, des multiplications avec des nombres réels, ainsi que des racines, carrées ou cubiques. Que faire de ces expressions, qui ne sont pas des nombres réels, mais semblent par ailleurs fournir des solutions, satisfaisantes du point de vue des calculs, aux équations considérées ? Peut-être les considérer comme des nouveaux nombres, non réels, imaginaires, mais d'un certain point de vue aussi valides que les nombres réels.

Cela semble suggérer de renoncer à une relation simple avec le réel :

un nombre entier peut représenter des objets distincts (des carottes, des tomates),
un nombre réel peut représenter les dimensions d’un objet (par exemple la diagonale d’un carré),
le nombre i ne représente pas directement de quantité physique « simple ».

Mais le problème se présentait déjà avec les nombres entiers négatifs ou fractionnaires : on ne peut certes pas « avoir -2 carottes » ni « creuser un demi-trou ». En d’autres termes, différents types de nombres s’appliquent bien ou mal au monde de différents types de problèmes que nous désirons traiter. À ce titre, i n’est en fait ni plus ni moins imaginaire (au sens courant du terme, cette fois-ci) que -2, 1/2 ou racine de 2.

Le fait que l'on ne puisse pas associer aux nombres complexes d’intuition concrète aussi évidente que celle des entiers naturels ou des réels n’est pas gênante pour la théorie mathématique - bien qu'elle ait posé des problèmes conceptuels aux mathématiciens il y a plusieurs siècles. En effet, il est tout à fait possible de définir rigoureusement les opérations sur les nombres complexes en fonction des opérations sur les nombres réels sans devoir faire référence à une quelconque intuition.

Notons toutefois que les nombres complexes ont une utilisation en géométrie plane, et qu’ainsi on peut leur associer des concepts géométriques comme celui de point ou de vecteur du plan, ou encore les similitudes directes (les transformations géométriques qui conservent les angles, mais peuvent modifier les distances d’un certain facteur, et conservent l’orientation des figures)..

[modifier] Nombres et vecteurs

Étant un nombre imaginaire, i n’appartient pas à <math>\mathbb{R}</math>. On sait additionner, et multiplier des nombres réels, mais il n'y a a priori pas de sens à effectuer des calculs faisant intervenir i. Pourtant, dans les procédés de résolution des équations du troisième degré, de tels calculs apparaissent. Il nous faut donc essayer de donner un sens à des opérations telles que <math>a \cdot i</math> et <math>a + i \; (a \in \mathbb{R})</math>. Il existe déjà un domaine dans lequel on effectue de telles opérations « hétérogènes » : les vecteurs. Il semble donc raisonnable, pour comprendre les manipulations algébriques (les calculs) faisant intervenir i, d'essayer de se le représenter comme un vecteur. On se place dans un plan géométrique muni d’un repère, l’axe horizontal est <math>\mathbb{R}</math> muni d'un vecteur qu'on nomme <math>\vec{1}</math>, l’axe vertical est muni d'un vecteur qu'on nomme <math>\vec{i}</math>. On appelle ce plan le plan complexe. On va voir que les calculs classiques sur ces vecteurs <math>\vec{1}</math> et <math>\vec{i}</math> correspondent aux calculs faisant intervenir les nombres réels et le nombre imaginaire i. Le plan complexe sera donc un modèle géométrique pour représenter les nombres réels et imaginaires, et les opérations entre eux.

Afin de simplifier la compréhension, de bien séparer les concepts, nous utilisons cette notation non standard, qui permet de distinguer les nombres (réels ou imaginaires) de la représentation géométrique de ces nombres à l'aide de vecteurs :

le vecteur <math>\vec{1}</math> va servir de représentation géométrique pour le nombre réel 1
le vecteur <math>\vec{i}</math> va servir de représentation géométrique l’inconnu imaginaire i

un réel quelconque a étant égal à a · 1, nous allons représenter la multiplication entre nombre réels par la multiplication d’un vecteur par un scalaire ; ainsi, le nombre réel a sera représenté par le vecteur <math>a \cdot \vec{1}</math>.

Ainsi, l’expression a + b · i sera représentée par le vecteur <math>a \cdot \vec{1} + b \cdot \vec{i}</math>, qui peut par ailleurs s’écrire comme une matrice colonne

<math>a \cdot \vec{1} + b \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>

Représentation du plan complexe avec les notations non standard introduites

Nous pouvons donc considérer un vecteur quelconque <math>\vec{u} = a \cdot \vec{1} + b \cdot \vec{i}</math> de ce plan, et nous allons étudier ses propriétés, sachant qu’il doit obéir à certaines règles puisqu’il représente une expression dans une équation.

Pour nous simplifier l’écriture, si a est un réel, nous nous permettrons de l'écrire <math>\vec{a}</math> plutôt que <math>a \cdot \vec{1}</math> (on peut ainsi écrire <math>\vec{5}</math>).

[modifier] Multiplication imaginaire

L'addition des réels correspond parfaitement à l'addition vectorielle, nous ne nous attarderons donc pas plus là-dessus (bien qu’en toute rigueur, l’addition nécessiterait une étude aussi poussée que la multiplication).

Pour la multiplication en revanche, on est face à une ambiguïté par rapport aux vecteurs géométriques classiques : le scalaire est lui-même un vecteur. Ainsi, l'expression classique a · b (a et b étant réels) peut se traduire à la fois par <math>a \cdot (b \cdot \vec{1})</math>, par <math>b \cdot (a \cdot \vec{1})</math>, par <math>(a \cdot b) \cdot \vec{1}</math>, donc par <math>a \cdot \vec{b}</math> et par <math>b \cdot \vec{a}</math>… On voit que a et b ont un rôle symétrique, et que l'on a en fait… une opération entre deux vecteurs, un « produit » de vecteurs mais qui n'est ni un produit scalaire puisque le résultat est un vecteur (le résultat de la multiplication par <math>\vec{i}</math> n’est pas un scalaire), ni un produit vectoriel puisque le résultat est dans le plan.

Nous allons donc devoir inventer une nouvelle opération, que nous allons appeler « produit imaginaire » et noter ×. Comme toutes les opérations sur les vecteurs, il s'agit en fait d'une construction géométrique, nous allons commencer par étudier la transformation des vecteurs de la base pour pouvoir l’étendre à tout le plan.

On a donc :

<math>\vec{1} \times \vec{1} = \vec{1}</math>
<math>\vec{1} \times \vec{i} = \vec{i}</math>
<math>\vec{i} \times \vec{i} = -1 \cdot \vec{1}</math> d’après l’égalité (1) vu au paragraphe en haut (x²+1=0)

On voit que dans le plan, multiplier par <math>\vec{1}</math> revient à ne rien changer, et multiplier par <math>\vec{i}</math> revient à faire une rotation d’un quart de tour dans le sens positif. Cette multiplication est donc, entre autres, une rotation.

Multiplication imaginaire des vecteurs de la base

Si maintenant on considère <math>\vec{a} \times \vec{b}</math>, qui est égal à <math>\overrightarrow{a \cdot b}</math> puisque (a · b) est lui-même un réel, on voit que c’est une homothétie, une dilatation ; <math>\vec{b}</math> est dilaté d’une quantité <math>||\vec{a}||</math>.

En fait, on voit que si l’on prend un vecteur <math>\vec{u}</math> quelconque du plan, si α est l’angle qu’il fait avec l’axe des réels, alors la multiplication imaginaire d’un autre vecteur <math>\vec{v}</math> par <math>\vec{u}</math> revient à faire

une rotation d’angle α ;
une dilatation de <math>||\vec{u}||,</math>

c’est-à-dire une similitude directe (une transformation géométrique qui conserve les angles et l’orientation).

Construction graphique de la multiplication imaginaire

On donne ainsi un sens à une écriture de type

<math>(a_1 \cdot \vec{1} + a_2 \cdot \vec{i}) \times (b_1 \cdot \vec{1} + b_2 \cdot \vec{i})</math>

qui est la traduction de l’expression

(a₁ + a₂ · i)·(b₁ + b₂ · i).

[modifier] Commentaires sur cette vulgarisation

Les nombres complexes peuvent parfois susciter un certain malaise chez certains élèves et étudiants (illustré par une scène du film Les Désarrois de l’élève Törless de Volker Schlöndorff) : i est un « extra-réel », un « E.R. » (avec la même connotation que « E.T. l'extraterrestre »), un intermédiaire de calcul encombrant que l’on a donc placé sur un autre axe. La présentation géométrique permet de démystifier les nombres complexes et d’en donner une intuition.

La multiplication dans le plan complexe est une construction géométrique au même titre que d'autres qui, appliquée aux réels, se résume à la multiplication simple, et qui, appliquée à un réel et à un complexe quelconque, se résume au produit d'un vecteur par un scalaire. L'écriture « a + b · i » peut être vue comme un abus d'écriture qui consiste à mettre sur le même plan les scalaires et les vecteurs, ce qui ici est légitime.

[modifier] Axiomatisations

[modifier] Par des couples

On définit un nombre complexe comme couple de nombre réels a+bi, les lois de composition internes sont les suivantes :

L'addition : <math>(a+bi) + (c+di) = a + c + (b + d)i \,</math>
La multiplication : <math>(a+bi)*(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac - bd + (ad + bc)i\,</math>

On démontre que l’ensemble <math>\mathbb{C}</math> muni de ces deux lois est un corps commutatif et un <math>\mathbb{R}</math>-espace vectoriel. De plus, le sous-ensemble des (a,0) est isomorphe à <math>\mathbb{R}</math>. On peut ainsi écrire (a,b)= a + b × i.

[modifier] Par les polynômes

Le corps des nombres complexes est isomorphe au quotient de l’ensemble des polynômes de <math>\mathbb{R}</math>, noté <math>\mathbb{R}[X]</math>, par la relation d'équivalence <math>\Re</math> définie comme suit :

pour deux polynômes P et Q, P est en relation <math>\Re</math> avec Q si le reste de la division euclidienne de P et de Q par X² + 1 est le même ;
tous les polynômes qui sont dans la relation <math>\Re</math> avec P sont dits appartenir à la classe d'équivalence de P.

On note ce quotient ainsi :

<math>\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)</math>.

C’est en fait un quotient d’un type plus général, d'un anneau euclidien principal (<math>\mathbb{R}[X]</math>) par un de ses idéaux (l'idéal engendré par X² + 1). Il s'agit d’une construction classique pour définir des extensions algébriques : ici on a pris <math>\mathbb{R}</math>, on a considéré le polynôme X² + 1 et on a construit l’extension de ce corps par les racines du polynôme.

Le nombre i est la classe d'équivalence de X.

[modifier] Par les matrices 2*2

Si on considère l'ensemble des matrices de la forme

<math> \left(

 \begin{matrix}
   a  & b \\
   -b & a \\
  \end{matrix}

\right) </math>

où a et b sont des nombres réels , on peut vérifier facilement que cet ensemble s'identifie à <math>\mathbb{C}</math> par le morphisme qui à une telle matrice associe <math>a+ib</math>

[modifier] Forme cartésienne

On peut voir les nombres complexes comme les objets de la forme <math>a + bi</math>, avec <math>a</math> et <math>b</math> deux nombres réels, et se donner les règles de calcul suivantes :

<math>(a + bi) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b')i \,</math>
<math>(a + bi) (a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i \,</math>

Enfin, si <math>a</math> ou <math>b</math> est non-nul, on voit que <math>\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i \,</math> est l’inverse de <math>a + bi \,</math>.

La formule de l'inverse fait apparaître deux nombres intéressants :

<math>a - bi \,</math> est appelé le conjugué de <math>a + bi \,</math> ;
<math>\sqrt{a^2 + b^2} \,</math> est appelé le module de <math>a + bi \,</math> : c’est la distance du point (a,b) à l’origine (0,0) ;

et cette formule de l’inverse (qui demande des hypothèses sur le nombre complexe) provient donc de la formule plus générale :

En particulier, ce symbole <math>i \,</math> vérifie l’égalité à première vue étonnante : <math>i^2 = -1 \,</math>.

Dans l’expression <math>a + bi \,</math>, on appelle <math>a</math> la partie réelle, notée Re(z), et <math>b</math> la partie imaginaire, notée Im(z). Un nombre complexe est dit réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, et imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.

On appelle complexe conjugué de z, le nombre <math>z'</math> tel que pour <math>z = (a, b) \,</math>, <math>z' = (a, -b) \,</math>. On le note généralement par la lettre z surmontée d’un trait horizontal (écrit <math>\bar z</math> et lu « z barre »).

[modifier] Forme cartésienne des racines carrées d'un nombre complexe

Cette notion n'est surtout pas à confondre avec la racine carrée dans <math>\mathbb{R}_{+}</math> qui est unique, contrairement à celle qui vient d'être définie. Pour cela on déconseille la forme : <math> \sqrt{a + bi}</math>. On procède donc à la méthode suivante :

Soit <math>\ z^2 = Z</math> avec <math>\ z=x+iy</math> (z est la racine carré de Z), on pose alors le système suivant:

<math>\begin{cases}z^2=Z\\|z|^2=|Z|\end{cases}</math> Sig: <math>\begin{cases}(x+iy)^2=a+ib\\(x^2+y^2)=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}</math> Sig: <math>\begin{cases}x^2-y^2+i2xy=a+ib\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}</math>

Par identification de la partie Réelle et Imaginaire on a:

<math>\begin{cases}x^2-y^2=a\\2xy=b\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}</math>

Il est très simple alors d'en déduire <math>\ x^2</math> en ajoutant la première et la troisième équation puis en déduire les valeurs de <math>\ x</math> puis <math>\ y</math> .

[modifier] Forme algébrique

Quand les nombres complexes sont écrits sous la forme <math>z = (a, b) = a + ib \,</math>, on parle de forme algébrique. Les nombres a et b sont des réels, alors que le symbole i est tel que <math>i = (0, 1) \,</math>, ou <math>i^2 = -1 \,</math>.

Le conjugué de <math>z = a + ib\,\!</math> est <math>\bar z = a - ib</math>.

En physique, notamment en électricité, on note parfois j au lieu de i.

[modifier] Formes trigonométrique et exponentielle

Pour un nombre complexe non nul z de partie réelle a et de partie imaginaire b, il existe un réel strictement positif r et des réels <math>\theta</math> tels que :

<math>a = {r \cos (\theta)}\,</math>

<math>b = r \sin (\theta)\,</math>

Les réels <math>\theta \,</math> diffèrent les uns des autres d’un multiple entier de <math>2\pi \,</math> et sont appelés arguments de z.

On a

<math>z = a + ib = r (\cos (\theta) + i \sin (\theta)) = re^{i \theta}\,</math>

La notation :

<math>z = r (\cos (\theta) + i \sin(\theta))\,</math>

est appelée forme trigonométrique du nombre z.

La notation :

<math>z = r e^{i \theta}\,</math>

est appelée forme exponentielle du nombre z.

L'angle <math>\theta </math> est, quelle que soit l'expression de z, tel que :

<math>\tan (\theta) = {{\Im ( z )} \over {Re ( z )}}</math>

Cette notion est importante dans le tracé du diagramme de Fresnel en électronique puisque, à partir de tangeante <math>\theta \,</math>, donc de <math>\theta \,</math>, on peut calculer la phase en fonction de la fréquence, en vue du diagramme de Bode (Phase) .

Quant à |Z| ou le gain en fonction de la fréquence , on trace donc le Diagramme de Bode ( Gain ) . On calcule aussi le gain en décibel tel que G ( db ) = -20 log(|z|) et on trace G ( db ) en fonction de la fréquence.

Dans ces deux formes, <math>r</math> est le module de z, <math>\theta</math> est un argument de z et e^iθ est le signe de z.

On peut alors noter le conjugué du nombre z sous ces deux formes :

<math>\bar z = re^{-i\theta} \,</math> forme exponentielle
<math>\bar z = r(\cos\theta - i\sin\theta) \,</math>.

Cependant, cette dernière notation n'est pas une notation sous forme trigonométrique. La forme trigonométrique du conjugué est :

<math>\bar z = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) \,</math>.

Image:Searchtool.svg Voir l’article Formule d'Euler.

Image:Searchtool.svg Voir l’article Formule de Moivre.

[modifier] Rôle en mathématiques

[modifier] Racines de polynômes, clôture algébrique

Article principal : Théorème de d'Alembert-Gauss

Tout polynôme à coefficients complexes (donc, en particulier, tout polynôme à coefficients entiers ou rationnels), non constant, admet au moins une racine (d’où l’on déduit qu’il en admet autant que son degré, en les comptant avec leurs multiplicités). On dit que le corps des complexes est algébriquement clos.

En fait, le corps des complexes est la clôture algébrique du corps des réels, c'est-à-dire le plus petit corps qui contienne le corps des réels et qui soit algébriquement clos.

Ce résultat est connu en France sous le nom de théorème de d’Alembert-Gauss, dans d'autres pays sous le nom de théorème fondamental de l'algèbre.

[modifier] Analyse complexe

Article principal : Analyse complexe.

Les nombres complexes ont initialement été conçus pour répondre à un problème algébrique. Cependant, ils ont de riches propriétés analytiques. Il est possible de généraliser aux nombres complexes la définition usuelle de la dérivée : <math>lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math> (avec usage de la multiplication et de la soustraction complexes). Cependant, la propriété de dérivabilité sur les complexes est de conséquences bien plus importantes que celle sur les réels. L’étude des fonctions complexes d’un nombre complexe, dérivables au sens des complexes, dites aussi fonctions holomorphes, est donc très riche.

De même que l'on définit une dérivée, on peut définir des notions de primitives et d’intégrales complexes. Le théorème des résidus établit que l’intégrale d'une fonction holomorphe le long d’un chemin fermé ne dépend que des singularités de cette fonction à l’intérieur de ce chemin, et du nombre de tours que ce chemin fait autour d’elles.

[modifier] Automorphismes du corps des complexes

L'identité et la conjugaison sont des automorphismes du corps des complexes. En fait, ce sont ses seuls automorphismes continus (on peut remplacer l'hypothèse <<continu>> par, au choix, <<mesurable>> ou <<tel que l'image de tout réel est un réel>>). En supposant l'axiome du choix on peut construire des automorphismes <<exotiques>> de ce corps: voir automorphismes de corps non continus de C.

[modifier] Emplois en physique et ingénieurie

[modifier] Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier

Ensuite, la forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux phénomènes, par exemple les phénomènes ondulatoires (notamment à propos des ondes électromagnétiques, ou en électronique et plus précisément dans le domaine de l'analyse électronique des circuits contenant des selfs ou bobines notées L , des capacités notées C et des résistances notées R.( Exemples R+jLw ou R-j/Cw et w=2πF , ici , ce sont des exemples respectivement ( R,L ) et ( R,C ) en SERIE et avec le schéma en SERIE : R*R + ( jLw -j/Cw )*( jLw-j/Cw ) = Z*Z d'où Z = SQR( R*R +( jLw-j/Cw )*( jLw-j/Cw)) et avec tangente de l'angle = ( Lw-1/Cw)/R ). Dans le domaine de l'électronique , le i représentant l'imaginaire en Mathématiques , devient j pour les Physiciens et on peut tracer alors le diagramme de Fresnel et , ce , quelque soit l'expression .

En effet, prenons un paramètre quelconque, A(t), qui dépend du temps de façon sinusoïdale. Cela signifie que la valeur de A varie entre a et -a, avec toujours la même période, disons, ω₁, et que l’on peut écrire A = a.cos(ω₁t). Si on multiplie la valeur de A par la valeur de B(t), un paramètre de la même forme, mais de période différente ω₂, nous obtenons :

<math>C=a\cos(\omega_1 t) . b\cos(\omega_2 t) \,</math>

ce qui est très joli, mais pas facile à manipuler… mais en écriture exponentielle, nous obtenons :

<math>C' = (ab)e^{i(\omega_1+\omega_2)t} = ce^{i\omega_3t} \,</math>

ce qui est bien plus simple à manipuler… Mais C′, n’est pas le produit de A par B ! C’est la partie réelle de C′! Implicitement, nous avons transformé A et B en complexes, et les avons manipulés (ici, multipliés). En prenant la partie réelle de C′, nous revenons dans le corps des réels. Les complexes n’ont alors aucune réalité physique.

En fait, on se sert du fait que <math>\mathbb{C}</math> contient <math>\mathbb{R}</math> pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit écrire qu’un paramètre vaut r cos(θ), il faut deux réels, r et θ. Mais avec des complexes, il suffit d’UN nombre, ce qui est bien plus simple.

En électromagnétisme toujours, mais dans un contexte différent, on peut écrire le champ électromagnétique comme une combinaison complexe du champ électrique et du champ magnétique. Pur artifice de calcul, on peut associer l’un ou l’autre de ces champs à la partie « imaginaire » du champ complexe obtenu : cela simplifie grandement les opérations.

On utilise également les complexes pour l’analyse de Fourier, très utilisée dans de nombreux domaines, comme le traitement du signal.

[modifier] Mécanique des fluides dans le plan

En mécanique des fluides (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses complexes. En effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse du fluide en v_x et v_y. Or, on montre que :

<math>V_x = \frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y}</math>
<math>V_y = \frac{\partial\phi}{\partial y} = \frac{\partial\psi}{\partial x}</math>

Satisfaire à ces conditions (conditions de Cauchy-Riemann) équivaut à dire qu’il existe une fonction analytique telle que

Ceci permet encore d’écrire :

<math>\frac{df}{dz}=\frac{\partial\phi}{\partial x} + i \frac{\partial\psi}{\partial x} = V_x -i V_y \,</math>

On appelle f(z) le potentiel complexe, et sa dérivée par rapport à z, la vitesse complexe. Grâce à cette fonction, on obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme trigonométrique). Surtout, on peut modéliser simplement un écoulement autour d’un obstacle, d’une manière simple et compacte. La fonction ψ doit être constante le long du profil de cet obstacle, ce qui permet une résolution simple de f, grâce à des résultats simples d’analyse complexe.

[modifier] Mécanique quantique

Autre simplification pour physiciens : la mécanique quantique nécessite les nombres complexes. Les fonctions d’ondes quantiques sont ainsi toutes complexes (voir Postulats de la mécanique quantique). Dans ce cas, toutefois, il est possible (selon des théories non quantiques) que cela corresponde à la structure réelle de l’univers : non plus à 4 dimensions (espace-temps), mais de 5 et plus - dans certaines théories jusqu’à 11 - aux échelles quantiques (petites). Malgré notre perception (adaptée aux échelles plus grandes), la dimension imaginaire pourrait donc fort bien correspondre aussi à une « réalité physique » et non pas représenter seulement une commodité d’écriture.

Si tant est d’ailleurs qu’on ait lieu d’établir une différence, car on remarque que les notations efficaces pour engendrer des objets le sont tout autant pour les décrire avec précision ensuite (voir Fractale, Complexité de Kolmogorov, Compression, Entropie de Shannon et même Notation neumatique en musique.