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Image:Inertie balai.jpg

Le moment d'inertie mesure la résistance d'un corps soumis à une mise en rotation (ou plus généralement à une accélération angulaire). C'est l'analogue de la masse inertielle qui elle mesure la résistance d'un corps soumis à une accélération linéaire.

[modifier] Approche empirique

Prenez un balai en main au milieu du manche et faites-le tourner comme sur la figure ci-contre. Il est plus aisé de faire tourner le balai autour de l'axe du manche (1), qu'autour d'un axe transversal (2).

Cela est dû au fait que dans le deuxième cas, la matière constituant le balai se trouve plus éloignée de l'axe de rotation. Comme pour un solide en rotation, la vitesse linéaire d'un point croît en proportion avec cet éloignement, il est nécessaire de communiquer une plus grande énergie cinétique aux points éloignés. D'où la plus grande résistance du balai à tourner autour d'un axe transversal qu'autour de l'axe du manche.

[modifier] Détermination du moment d'inertie.

Considérons un objet composé de plusieurs points solidaires i de masse m_i. Cet objet tourne autour d'un axe Δ, à la vitesse ω. la distance de i à Δ est r_i.

Le calcul de l'énergie cinétique de cet objet donne:

<math>E_c=\sum_{i} \frac{1}{2} \; m_{i} \; V_{i}^{2} = \sum_{i} \frac{1}{2} \; m_{i} \; (\omega \; r_{i})^{2} = \frac{1}{2} \; \omega^{2} \; \sum_{i}m_{i} \; r_{i}^{2}</math>

On définit alors le moment d'inertie <math>J_{\Delta}</math> par rapport à l'axe Δ par  :

<math>J_{\Delta}=\sum_{i} r_{i}^{2} \; m_{i}</math>

Par extension dans un solide considéré comme ensemble continu de points matériels x affectés d'une masse volumique ρ, le moment d'inertie s'écrit:

<math>J_{\Delta}=\int {\rm d}(x,\Delta)^{2} \; {\rm d}m=\int {\rm d}(x,\Delta)^{2} \; \rho \; {\rm d}V</math>

où

• d(x,Δ) est la distance entre le point x et l'axe Δ et
• dV est un volume élémentaire autour de x
• dm est la masse de ce volume élémentaire

que l'on peut aussi écrire sous une forme vectorielle :

<math>J_{\Delta}=\int \|\vec{\Delta}\wedge\vec{OM} \|^{2} \; {\rm d}m=\int \|\vec{\Delta}\wedge\vec{OM}\|^{2} \; \rho \; {\rm d}V</math>

où

• O est un point sur l'axe Δ
• <math>\vec{\Delta}</math> est un vecteur unitaire de l'axe Δ

Il découle de la définition du moment d'inertie que plus la masse d'un solide est répartie loin de l'axe de rotation, plus son moment d'inertie est important. Ainsi, le patineur sur glace rapproche les bras de son corps lors d'une pirouette. Cela a pour effet de diminuer son moment d'inertie, ce qui, par conservation du moment cinétique, implique une plus grande vitesse de rotation.

[modifier] Théorème de Huygens

Considérons l'axe Δ passant par le centre de masse de l'objet, et un axe Δ' parallèle à Δ et distant de d. En calculant comme précédemment le moment d'inertie, on retrouve la relation établie par Christiaan Huygens connue sous le nom de théorème de Huygens qui donne le moment d'inertie <math>J_{\Delta '}</math> en fonction de <math>J_{\Delta}</math> :

<math>J_{\Delta '}=J_{\Delta}+m\cdot d^{2}</math>

A l'énergie cinétique de rotation propre d'un corps, s'ajoute celle de "translation" circulaire du centre de masse auquel on a affecté la masse totale du solide.

Une conséquence immédiate du théorème de Huygens est qu'il est moins coûteux (en énergie) de faire tourner un corps autour d'un axe passant par le centre de masse.

it:Momento di inerzia