Matrice orthogonale
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Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si elle vérifie :
<math>{}^tA\cdot A=I\,</math>, où <math>I</math> est la matrice identité.
[modifier] Propriétés des matrices orthogonales
- Une matrice est orthogonale si et seulement si tous ses vecteurs colonne sont orthogonaux entre eux et de norme unité. Il en est de même pour les vecteurs ligne.
- Le carré du déterminant d'une matrice orthogonale est égal à 1.
- La multiplication d'un vecteur par une matrice orthogonale préserve la norme de ce vecteur.
- L'ensemble de ces matrices est un groupe appelé groupe orthogonal et noté O(n). Il s'interprète de manière géométrique comme étant l'ensemble des isométries de l'espace euclidien <math>\R^n</math>. Plus précisément, un endomorphisme d'un espace euclidien est orthogonal si, et seulement si, sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale.
- L'ensemble de ces matrices orthogonales de déterminant 1 forme un sous-groupe du groupe orthogonal, appelé groupe spécial orthogonal et noté SO(n). Il s'interprète de manière géométrique comme étant l'ensemble des rotations de l'espace euclidien <math>\R^n</math>. Ces matrices sont également appelées orthogonales directes. Celles de déterminant -1 sont appelées orthogonales indirectes.da:Ortogonal matrix
de:Orthogonale Matrix en:Orthogonal matrix es:Matriz ortogonal it:Matrice ortogonale ja:直交行列 pl:Macierz ortogonalna ru:Ортогональная матрица zh:正交矩阵
