Masse fluide en rotation
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Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M , de masse volumique <math>\rho</math>. Le problème est de trouver sa forme.
Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin(1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati.
Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents.
Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses ( Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan,...) jusqu'à nos jours.
Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.
[modifier] La solution de Maclaurin
Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a , d'excentricité e.
La rotation est caractérisée par le paramètre m = <math>\omega^2 a/ (GM/a^2)</math>. Comme le volume est donné, V = 4/3. Pi.a².b , m est proportionnel à <math>\omega^2/ \pi G \rho</math>
La solution donnée par Maclaurin est :
<math>\omega^2/ \pi G \rho = arcsin(e) \cdot 2\frac{(1-e^2)^{1/2} (3-2e^2)}{e^3} + 6 -6/e^2</math>.
A dire vrai , il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = 2/5.M.a^2.<math>\omega</math> est donné. Alors L =f(e) est monotone.
Néanmoins Jacobi montrera que si L augmente , pour e = 0.58 , cette forme d'ellipsoïde de révolution est instable : la symétrie de révolution est brisée.
[modifier] Voir aussi
- géoïde
- figure de la Terre
- ellipsoïde de révolution
- Chandrasekhar: ellipsoidal figures of equilibrium ( Dover, 1987)
- Landau , tome 2 , loi de Newton(§99).
