Loi normale multidimensionnelle

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On appelle loi normale multidimensionnelle ou loi multinormale une loi de probabilité qui est la généralisation multidimensionnelle de la loi normale.

Contrairement à la loi normale classique, paramétrée par un scalaire <math>\mu</math> correspondant à sa moyenne et un second scalaire <math>\sigma^2</math> correspondant à sa variance, elle est paramétrée par un vecteur <math>\boldsymbol{\mu}</math> de <math>\mathbb{R}^p</math> représentant son centre et une matrice <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> de <math>\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^p</math> représentant sa matrice de variance-covariance.

Chaque élément <math>\boldsymbol{\mu}_i</math> de <math>\boldsymbol{\mu}</math> représente l'espérance de la variable aléatoire <math>X_i</math>. Chaque élément <math>\boldsymbol{\Sigma}_{ij}</math> de <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> représente la covariance des variables aléatoires <math>X_i</math>, <math>X_j</math> et en particulier, chaque élément diagonal <math>\boldsymbol{\Sigma}_{ii}</math> de <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> représente la variance <math>\sigma^2_i</math> de la variable aléatoire <math>X_i</math>.

Comme toute matrice de variance-covariance, la matrice <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> est symétrique réelle, à valeurs propres positives ou nulles ; lorsque la loi multinormale est non dégénérée (c'est-à-dire qu'il n'existe aucune relation affine presque sûre entre les composantes du vecteur aléatoire), la matrice <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> est à valeurs propres strictement positives : elle est définie positive ; dans ce cas, la loi multinormale admet une densité sur <math>\R^p</math>.

Sa fonction de densité est définie de <math>\mathbb{R}^p</math> dans <math>\R</math> de la manière suivante :

Pour un vecteur <math>\boldsymbol{x}</math> de <math>\mathbb{R}^p</math> et en notant <math>\boldsymbol{\theta}=\left(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}\right)</math>

<math> f\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\theta}\right)= \frac{1} {(2\pi)^{\frac{p}{2}}\textrm{det}\left(\boldsymbol{\Sigma}\right)^\frac{1}{2}}e^{ -\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}\right)'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}\right) }. </math>

On trouvera ci-dessous quelques précisions relatives à cette loi appelée aussi loi de Gauss à plusieurs variables.

[modifier] Rappel sur la variable de Gauss

Le théorème de la limite centrale fait apparaître une variable <math>U\,</math> de Gauss unitaire (moyenne nulle, variance unité) :

<math>E[U] = 0 \qquad E[U^2] = 1</math> <math>p_U(u) = \frac {1} {\sqrt{2 \pi}} e^{-{x^2} \over 2}\,</math>

On passe à la variable de Gauss générale par le changement de variable

<math>X = \sigma U + \mu \,</math>

qui conduit à

<math>E[X] = \mu \qquad E[(X-\mu)^2] = \sigma^2</math> <math>p_X(x) = \frac {1} {\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-{(x-\mu)^2} \over {2 \sigma^2}}</math>

Cette loi est caractérisée par une exponentielle comportant un exposant du second degré.

[modifier] Loi unitaire à plusieurs variables

Etant données n variables unitaires et indépendantes, leur densité de probabilité jointe s'écrit :

C'est la loi qui est à la base de la loi_du_χ².

Elle peut être synthétisée dans des formules matricielles. On définit d'abord le vecteur aléatoire <math>\boldsymbol{U}\,</math> qui a pour composantes les n variables et le vecteur d'état <math>\boldsymbol{u}\,</math> qui a pour composantes leurs valeurs numériques.

On peut associer au vecteur d'état le vecteur moyenne qui a pour composantes les moyennes des composantes, c'est-à-dire, dans ce cas, le vecteur nul :

<math>E[\boldsymbol{U}] = \boldsymbol{0}\,</math>

La matrice de covariance possède des éléments diagonaux (les variances) qui sont égaux à 1 tandis que les éléments non diagonaux (les covariances au sens strict) sont nuls : c'est la matrice unité. Elle peut s'écrire en utilisant la transposition :

<math>E[\boldsymbol{U} \boldsymbol{U}^T] = \boldsymbol{I}\,</math>

Enfin, la densité de probabilité s'écrit :

<math>p_\boldsymbol{U}(\boldsymbol{u}) = \frac {1} {{(2 \pi)}^{n/2}} e^{-{1 \over 2} \boldsymbol{u}^T \boldsymbol{u}}</math>

[modifier] Loi générale à plusieurs variables

Elle s'obtient à partir d'un changement de variable linéaire

<math>\boldsymbol{X} = \boldsymbol{a} \boldsymbol{U} + \boldsymbol{\mu}</math>

Le problème sera limité au cas d'une matrice <math>\boldsymbol{a}</math> carrée (même nombre de variables en sortie) et régulière. L'opérateur espérance vectoriel étant linéaire, on obtient le vecteur moyen

<math>E[\boldsymbol{X}] = \boldsymbol{a} E[\boldsymbol{U}] + \boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{\mu}\,</math>

et la matrice de covariance

<math>E[\boldsymbol{(X-\mu)} \boldsymbol{(X-\mu)}^T] = E[\boldsymbol{a} \boldsymbol{U} \boldsymbol{U}^T \boldsymbol{a}^T] = \boldsymbol{a}\boldsymbol{a}^T= \boldsymbol{s}\,</math>

La densité de probabilité s'écrit

<math>p_\boldsymbol{X}(\boldsymbol{x}) = \frac {1} {{(2 \pi)}^{n/2} \sqrt{\det \boldsymbol{s}}} e^{-{1 \over 2} \boldsymbol{(x-\mu)}^T \boldsymbol{s}^{-1} \boldsymbol{(x-\mu)}}</math>

[modifier] Remarques diverses

Un nouveau changement de variables linéaire appliqué à <math>\boldsymbol{X}\,</math> aboutit à une densité de probabilité qui a la même forme mathématique :

<math>\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{b} \boldsymbol{X} + \boldsymbol{\nu} = \boldsymbol{b} \boldsymbol{a} \boldsymbol{U} + \boldsymbol{b} \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\nu}</math>

Les formules essentielles, obtenues commodément à partir du calcul matriciel, se traduisent en termes scalaires :

<math>X_k = \sum_{j=1}^n {a_{kj}U_j}\,(k=1,n)\,</math> <math>p_{X_1...X_n}(x_1,...x_n) = \frac {1} {{(2 \pi)}^{n/2} \sqrt{\det \boldsymbol{s}}} e^{-{1 \over 2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n t_{jk} (x_j - \mu_j) (x_k - \mu_k)}</math>

les <math>t_{jk}\,</math> étant les coefficients de l'inverse de la matrice de covariance.

L'exposant dans la formule qui précède est du second degré par rapport à toutes les variables. On vérifie qu'une intégration par rapport à l'une d'entre elles donne un résultat analogue. (n-1) intégrations successives aboutissent à une loi de probabilité marginale munie d'un exposant quadratique : chaque variable est une variable de Gauss, ce qui n'était pas évident a priori.

En combinant les remarques précédentes, on aboutit au résultat selon lequel toute combinaison linéaire, en d'autres termes, toute somme de variables de Gauss est une variable de Gauss.