Loi des tangentes
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En trigonométrie, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un triangle et la mesure de deux de ses angles.
On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :
- a = BC et α = Â ;
- b = AC et β = B ;
- c = AB et γ = C.
Alors,
- <math>\frac{\frac{a-b}2 }{\frac {a+b}2 } = \frac{\tan \frac{\alpha-\beta}2 }{\tan \frac{\alpha+\beta}2 }</math>.
[modifier] Généralisation aux géométries non euclidiennes
Image:Spherical triangle with notations.png Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie
- <math>\,\rho = 1/\sqrt{|K|}</math>.
On définit alors les dimensions réduites du triangle :
- <math>\,a = BC/\rho</math>,
- <math>\,b = AC/\rho</math>,
- <math>\,c = AB/\rho</math>.
Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 2).
[modifier] Géométrie sphérique
Dans un triangle sphérique ABC (Fig. 2), la loi des tangentes devient :
- <math>\frac{\tan\frac{a-b}2 }{\tan\frac{a+b}2 } = \frac{\tan\frac{\alpha-\beta}2 }{\tan\frac{\alpha+\beta}2}</math>.
[modifier] Voir également
de:Tangenssatz en:Law of tangents fi:Tangenttilause nl:Tangensregel pl:Twierdzenie tangensów sl:Tangensni izrek uk:Теорема тангенсів zh:正切定理
