Logique

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La logique (du grec logos, raison, discours) est depuis l'antiquité l'une des grandes disciplines de la philosophie, avec l'éthique et la métaphysique. En outre, on a assisté durant le XX^e siècle au développement fulgurant d'une approche mathématique et informatique de la logique. Elle trouve de nos jours de nombreuses applications en ingénierie, en linguistique, en psychologie cognitive, en philosophie analytique ou en communication.

Sommaire

1 Les différentes approches de la logique
2 Philosophie
3 Mathématiques
4 Notions élémentaires de logique formelle
- 4.1 Syntaxes
- 4.2 Quantification
5 Voir aussi
6 Bibliographie

[modifier] Les différentes approches de la logique

Il existe de manière très générale quatre approches de la logique :

L’approche historique qui s’intéresse à l’évolution et au développement de la logique et tout particulièrement à la syllogistique aristotélicienne et aux tentatives depuis Leibniz de faire de la logique un véritable calcul algorithmique. Cette approche historique est tout particulièrement intéressante pour la philosophie car aussi bien Aristote que les Stoïciens ou que Leibniz ont travaillé comme philosophes et comme logiciens. Voir aussi l’article histoire de la logique.

L’approche mathématique : la logique mathématique contemporaine est désormais inséparable des mathématiques, de l’informatique et de l'ingénierie. Voir l'article logique mathématique.

L’approche philosophique : la philosophie et surtout la philosophie analytique repose en grande partie sur un outillage d’analyse et argumentatif provenant directement de la logique mathématique. Plus particulièrement, la philosophie comme philosophie de la logique peut se donner pour tâche d’éclairer les concepts fondamentaux et méthodes de la logique. On parle dans ce cas de philosophie de la logique.

Enfin, la quatrième approche est celle informatique qui s'attaque à l'automatisation des calculs et des démonstrations, aux fondements théoriques de la conception des systèmes, de la programmation et de l'intelligence artificielle. L'approche informatique est cruciale parce que c'est en essayant de mécaniser les raisonnements, voire de les automatiser, que la logique et les mathématiques vivent une véritable révolution en ce moment. Les conséquences épistémologiques de ces développements sont encore largement insoupçonnées.

[modifier] Philosophie

Image:Searchtool.svg Voir l’article Histoire de la logique.

[modifier] Antiquité

La logique est à l'origine une réflexion sur l'accord du discours (logos) avec lui-même. On peut dire qu'elle est un effort de la pensée pour rendre sa propre expression non contradictoire. Par la suite, elle est devenue outil (organon) assurant la cohérence de la réflexion. La philosophie se sert donc de la logique pour organiser son discours et lui assurer une pertinence concernant ses hypothèses sur le monde.

La cohérence d'un discours a deux aspects qui correspondent aux différents sens du concept de vérité :

la cohérence interne du discours lui-même : c'est la logique dans son aspect purement formel.
la cohérence externe : c'est la définition matérielle de la vérité : « adequatio rei et intellectus », l'accord du contenu avec la réalité.

Le premier type de cohérence peut se faire en vue du second, mais s'en détache aussi pour constituer un domaine conceptuel autonome.

En philosophie, la logique pose le problème des relations entre le langage et la pensée : la logique semble être en effet à la fois l'effet et la cause du discours. Elle découle du logos en philosophie (le sens du discours) ; mais, en mathématique (la forme), la cohérence formelle semble s'engendrer d'elle-même.

La logique a très tôt été utilisée contre elle-même, c'est-à-dire contre les conditions mêmes du discours : le sophiste Gorgias l'utilise dans son Traité du non-être afin de prouver qu'il n'y a pas d'ontologie possible : « ce n'est pas l'être qui est l'objet de nos pensées ». La vérité matérielle de la logique est ainsi ruinée. Le langage acquiert ainsi sa propre loi, qui est celle de la logique, indépendante de la réalité. Mais les sophistes ont été écartés de l'Histoire de la philosophie (sophiste a pris un sens péjoratif), si bien que la logique, dans la compréhension qu'on en a eu par exemple au Moyen Âge, est restée soumise à la pensée de l'être.

[modifier] XVII^e siècle et XVIII^e siècle

Au XVII^e siècle, à la suite des travaux de Galilée en astronomie, la logique aristotélicienne fut radicalement remise en cause par les scientifiques : Descartes décrivit une logique déductive (Discours de la méthode) et l'abbaye de Port-Royal développa des travaux en linguistique et en logique.

Leibniz fit des recherches intéressantes en logique, dans la tradition des syllogismes d'Aristote.

[modifier] XIX^e siècle

Emmanuel Kant, quant à lui, définit la logique comme «une science qui expose dans le détail et prouve de manière stricte, uniquement les règles formelles de toute pensée». L'œuvre d'Aristote appelée l'Organon, où figure notamment l'étude du syllogisme, fut longtemps considérée comme le manuel de référence sur ce sujet. Mais la naissance d'une logique formelle dépassant la structure binaire entre sujet et attribut à partir du XIX^e siècle, a quelque peu changé cet état de fait. Ainsi Gottlob Frege remplace-t-il l'analyse prédicative par une distinction entre fonction et concept.

L'une des origines de la logique est parfois vue comme la lutte du vrai et du faux, de l'être et du non-être, du yin et du yang. Bien qu'Aristote ait déjà entrevu la possibilité de nuancer la vérité à travers les modalités, il a fallu attendre le début du XX^e siècle pour que cette bivalence soit clairement remise en question de plusieurs façons différentes,

La première façon considère des logiques trivalentes qui ajoutent une valeur indéterminée, elles sont dues à Stephen Cole Kleene, Jan Lukasiewicz et Bochvar et se généralisent en logiques polyvalentes.

La deuxième façon insiste sur le démontrable. Il y a donc ce qui est démontrable et le reste. Dans ce « reste », il peut y avoir des propositions réfutables, c'est-à-dire dont la négation est démontrable et des propositions au statut incertain, ni démontrable, ni réfutable. Cette approche est celle de la logique intuitionniste. Elle se fonde sur des modèles de Kripke dans lesquels le concept de base est celui de monde possible. La logique linéaire va encore plus loin dans l'analyse des démonstrations.

La troisième façon est due à Lotfi Zadeh qui élabore une logique floue (fuzzy logic), dans laquelle une proposition est vraie selon un certain degré de probabilité (degré auquel on assigne lui-même un degré de probabilité). Voir aussi l'article sur la théorie de la complexité algorithmique.

La quatrième façon, qui est peut-être le retour aux sources, est celle de la logique modale qui atténue (possible) ou renforce (nécessaire) des propositions.

[modifier] Mathématiques

Image:Searchtool.svg Voir l’article Logique mathématique.

Dans ce dernier cas, sa position est un peu particulière d'un point de vue épistémologique, puisqu'elle est à la fois un outil de définition des mathématiques, et une branche de ces mêmes mathématiques, donc un objet.

[modifier] Notions élémentaires de logique formelle

Un langage logique est défini par une syntaxe, c'est-à-dire un système de symboles et de règles pour les combiner sous formes de formules. De plus, une sémantique est associée au langage. Elle permet de l'interpréter, c'est-à-dire d'attacher à ces formules ainsi qu'aux symboles une signification. Un système de déduction permet de raisonner en construisant des démonstrations.

La logique comprend classiquement :

la logique des propositions,
la logique des prédicats.

Considérons un langage logique. Ce dernier est soit :

un langage propositionnel, on parle alors de logique des propositions
un langage du premier ordre, on parle alors de logique des prédicats.

Bien évidemment, ces langages logiques diffèrent de par leur syntaxe.

[modifier] Syntaxes

La syntaxe de la logique des propositions est fondée sur des variables de propositions appelées également atomes que nous notons avec des lettres minuscules (p, q, r, s, etc.). Ces symboles représentent des propositions sur lesquelles on ne porte pas de jugement vis-à-vis de leur vérité: elles peuvent être soit vraies, soit fausses, mais on peut aussi ne rien vouloir dire sur leurs statut. . Ces variables sont combinées au moyen de connecteurs logiques qui sont, par exemple, :

le connecteur binaire disjonctif (ou),
le connecteur binaire conjonctif (et),
le connecteur binaire de l'implication (=>),
le connecteur monadique de la négation (non).

Ces variables forment alors des formules complexes.

La syntaxe de la logique du deuxième ordre, contrairement à celle du premier ordre, considère d'une part les termes qui représentent les objets étudiés, et d'autre part les formules qui sont des propriétés sur ces objets. Dans la suite nous noterons V l'ensemble des variables (x,y,z…), F l'ensemble des symboles de fonctions (f,g…) et P l'ensemble des symboles de prédicats (P,Q…). On dispose également d'une application dite d'arité m.

Qu'en est-il de la signification d'une formule? C'est l'objet de la sémantique. Là encore, elle diffère selon le langage envisagé.

En logique traditionnelle (appelée aussi classique), une formule est soit vraie soit fausse. Plus formellement, l'ensemble des valeurs de vérité est un ensemble B de deux booléens : le vrai et le faux. La signification des connecteurs est définie à l'aide de fonctions de booléens vers des booléens. Ces fonctions peuvent être représentées sous la forme de table de vérité.

La signification d'une formule dépend donc de la valeur de vérité de ses variables. On parle d'interprétation ou d'affectation. Toutefois, il est difficile, au sens de la complexité algorithmique, d'utiliser la sémantique pour décider si une formule est satisfaisante (ou non) voire valide (ou non). Il faudrait pour cela énumérer toutes les interprétations. Leur nombre est exponentiel.

Une alternative à la sémantique consiste à examiner les preuves bien formées et à considérer leurs conclusions. Cela se fait dans un système de déduction. Un système de déduction est un couple (A,R), où A est un ensemble de formules appelées axiomes et R un ensemble de règles d'inférence, c'est-à-dire de relations entre des ensembles de formules (les prémisses) et des formules (la conclusion).

On appelle dérivation à partir d'un ensemble d'hypothèses une suite non vide de formules qui sont : soit des axiomes, soit des formules déduites des formules précédentes de la suite.

Une démonstration d'une formule <math>\phi</math> à partir d'un ensemble de formules <math>\Gamma</math> est une dérivation à partir de <math>\Gamma</math> dont la dernière formule est <math>\phi</math>.

[modifier] Quantification

Image:Searchtool.svg Voir l’article Calcul des prédicats.

On introduit essentiellement deux quantificateurs dans la logique moderne :

<math>\exists</math> (il existe au moins un), appelé quantificateur existentiel.

<math>\forall</math> (pour tout), appelé quantificateur universel.

Un troisième quantificateur, qui peut être défini à partir des quantificateurs précédents, est souvent introduit :

<math>\exists</math>! (il existe un seul et unique).

Grâce à la négation, les quantificateurs existentiels et universels jouent des rôles duals et donc, en logique classique, on peut fonder le calcul des prédicats sur un seul quantificateur.

[modifier] Voir aussi

Image:Wiktprintable without text.svg

Le Wiktionnaire possède une entrée pour « logique ».

Sur la philosophie :

Sur la logique mathématique :

[modifier] Bibliographie

Jean-Pierre Belna, Histoire de la logique, 2005
Robert Blanché & Jacques Dubucs, La logique et son histoire: d'Aristote à Russell, Paris, Armand Colin, 1996
Pascal Engel, La Norme du vrai, philosophie de la logique, Paris, Gallimard, 1989
Paul Gochet & Pascal Gribomont, Logique. Vol. 1: méthodes pour l'informatique fondamentale, Paris, Hermès, 1990
Paul Gochet & Pascal Gribomont, Logique. Vol. 2: méthode formelle pour l'étude des programmes, Paris, Hermès, 1994
Paul Gochet, Pascal Gribomont & André Thayse, Logique. Vol. 3: méthodes pour l'intelligence artificielle, Paris, Hermès, 2000
William Kneale & Martha Kneale, The development of logic, Oxford, Clarendon Press, 1962
François Lepage, Eléments de logique contemporaine, Montréal, Les Presses de l'Université de Montréal, 1991
Dirk Pereboom, Logique et logistique, Genève, INU PRESS, [1995].ISBN 2-88155-002-9.