Lemme (mathématiques)

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En mathématiques et en logique mathématique, un lemme est un résultat intermédiaire sur lequel on s'appuie pour conduire la démonstration d'un théorème plus important.

En effet, la méthode de démonstration d'un théorème est souvent la suivante :

on veut démontrer le théorème T à partir d'une certaine liste d'axiomes et d'autres résultats déjà démontrés mais cela n'a pas l'air évident au premier abord,
mais on se dit que, si on savait L vrai (L étant alors une autre assertion dénommée lemme), on pourrait conclure immédiatement étant donné les règles de logique admises,
on pose alors L comme le résultat à démontrer et on lui applique une méthode de démonstration de théorème,
une fois L démontré, on en déduit T.

Ce principe est notamment utilisé par les logiciels appelés assistants de preuve tels Coq ou PVS.

Certains lemmes démontrés deviennent plus célèbres que le théorème pour lequel ils ont été créés et restent connus sous le nom « Lemme de XXX » bien que jouant habituellement un rôle de théorème.

[modifier] Exemples de lemmes célèbres

lemme de Zorn : célèbre pour être équivalent à l'axiome du choix dans la théorie des ensembles ZF — joue donc aussi bien le rôle d'un théorème conséquence de cet axiome que celui d'une reformulation de l'axiome (donc d'un axiome),
lemme de l'étoile : théorème de la théorie des langages formels, devenu plus célèbre que le théorème de l'étoile,
lemme des bergers,
lemme de Bézout.
lemme d'Euclide