Intégrale de Gauss
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Pour tout réel strictement positif <math>\ \alpha </math>, la fonction (paire) <math>\R \to \R, x \mapsto \mathrm{e}^{-\alpha x^2} </math> est intégrable sur <math>\R </math> et :
- <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\;</math>.
Cette intégrale est appelée intégrale de Gauss. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.
Sommaire |
[modifier] Intégrabilité de la fonction
- comme l'intégrande est pair, il suffit, pour montrer qu'il est intégrable sur <math>\R </math>, de prouver qu'il est intégrable sur <math>\R^+ </math>. Cela résulte de ce qu'il est positif, continu, et négligeable à l'infini devant la fonction <math>\ x \mapsto x^{-2} </math>, intégrable par exemple sur <math>\ [1,\, +\infty[\,</math>.
[modifier] Calcul de l'intégrale de Gauss
[modifier] Cas particulier α = 1
La méthode classique de calcul utilise une intégrale double qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires.
- Soient <math>G = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx</math> et <math>H = \iint_{\R^+ \times \R^+} \mathrm{e}^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy </math>.
- Compte tenu de ce que les variables x, y se séparent :
- <math> H = \iint_{\R^+ \times \R^+} \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{e}^{-y^2}\, dx\, dy = \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx\right) \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^2}\, dy\right)= G^2</math>
- On passe en coordonnées polaires en posant <math>\ x = r \cos\theta,\, y = r \sin\theta </math> ; les variables r, θ se séparent elles aussi :
- <math> H = \iint_{\R^+ \times [0,\, \frac{\pi}{2}]} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\, dr\, d\theta =
\left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\, dr \right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\, d\theta\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}</math>
- On en déduit :
- <math>G^2 = \frac{\pi}{4}</math>, d'où <math>G = \frac{1}{2}\sqrt{\pi} </math> puisque <math>G \geq 0</math>, et enfin : <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx = 2\, G = \sqrt{\pi}</math> par parité.
[modifier] Cas général
- En effectuant dans l'intégrale de Gauss le changement de variable défini par <math>x = \frac{t}{\sqrt{\alpha}}</math>, on obtient :
- <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} dx =\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} dt = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}</math>.
[modifier] Corollaire
Le réel <math>\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\, dt</math> (une valeur de la fonction eulérienne Gamma) est égal à <math>\ \sqrt{\pi}</math>.
En effet, effectuant dans l'intégrale ci-dessus le changement de variable <math>\ t = x^2</math>, où <math>\ x > 0</math>, on obtient :
- <math>\ \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\, dt = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{x}\, 2\, x\, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}</math>.
Nota : l'intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.). Ceci oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins "détournées", dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles ; d'autres méthodes classiques existent dont une élémentaire, mais nettement plus longue, fait appel aux intégrales de Wallis et une autre utilise une fonction définie par une intégrale.
