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Sommaire 1 Statique des fluides 1.1 Loi fondamentale de la statique des fluides 1.2 Poussée d'Archimède 2 Dynamique des fluides parfaits incompressibles 2.1 Equations d'Euler pour un écoulement incompressible 2.2 Ecoulement potentiel - Potentiel des vitesses 2.3 Relations de Bernouilli 2.3.1 Ecoulement stationnaire et potentiel 2.3.2 Ecoulement stationnaire et non-potentiel 2.3.3 Ecoulement instationnaire et potentiel 3 Dynamique des fluides visqueux incompressibles 3.1 Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

[modifier] Statique des fluides

[modifier] Loi fondamentale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos soumis à un champ de forces volumique <math>\vec{F} = \rho \vec{f}</math>, où <math>\rho</math> désigne la masse volumique, le champ de pression <math>\; p(x,y,z,t)</math> vérifie la relation

<math>\vec{\nabla}p = \rho \vec{f}</math>

Exemple: Lorsque le fluide est soumis uniquement aux forces de gravité <math>\left( \vec{F} = \rho \vec{g} \right)</math>, on a la relation

<math>\vec{\nabla}p = \rho \vec{g}</math>

soit, sachant que le champ de gravité est dirigé dans la direction verticale,

<math>\frac{\partial p}{\partial z} = - \rho g</math>

[modifier] Poussée d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide est soumis à une poussée de bas en haut égale au poids du volume du fluide déplacé.

Soit un corps de masse volumique <math>\; \rho</math> et de volume <math>\; V</math> plongé dans un fluide de masse volumique <math>\rho_f</math>. La poussée d'Archimède que le fluide exerce sur ce corps est la force

<math>\vec{p}_A = - \rho_f V \vec{g}</math>

Le poids apparent de ce corps dans le fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède, soit

<math>\vec{p}_{app} = (\rho - \rho_f) V \vec{g}</math>

Remarque: Lorsque la masse volumique du corps est inférieure à celle du fluide, le poids apparent est négatif. Voilà pourquoi une planche de bois remonte toujours à la surface de l'eau.

[modifier] Dynamique des fluides parfaits incompressibles

[modifier] Equations d'Euler pour un écoulement incompressible

Soit l'écoulement incompressible d'un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, dans un champ de force massique <math>\vec{f}</math>. En première approximation, sa masse volumique <math>\; \rho</math> est constante. En un point quelconque du fluide <math>\; M(x,y,z)</math> et à un instant quelconque <math>\; t</math>, les champs de pression <math>\; p(x,y,z,t)</math> et de vitesse <math>\vec{v}(x,y,z,t)</math> vérifient les relations:

<math>\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0</math>

<math>\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f}</math>

En coordonnées cartésiennes <math>\; (x_1, x_2, x_3)</math>, ces relations s'écrivent

<math>\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0</math>

<math>\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j \; , \; \; j = 1,2,3</math>

[modifier] Ecoulement potentiel - Potentiel des vitesses

Un écoulement de fluide est dit potentiel lorsque

<math>\vec{\nabla} \times \vec{v} = \vec{0}</math>

Dans ce cas, il existe une fonction potentiel des vitesses<math>\; \phi</math> qui vérifie

<math>\vec{v} = \vec{\nabla} \phi</math>

[modifier] Relations de Bernouilli

[modifier] Ecoulement stationnaire et potentiel

<math>\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte</math> en tout point de l'ecoulement.

[modifier] Ecoulement stationnaire et non-potentiel

<math>\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte</math> le long d'une ligne de courant.

[modifier] Ecoulement instationnaire et potentiel

<math> \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte</math> en tout point de l'ecoulement.

[modifier] Dynamique des fluides visqueux incompressibles

[modifier] Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique <math>\vec{f}</math>. La viscosité cinématique du fluide est notée <math>\nu</math> (unité SI: <math>m^2/s</math>). En un point quelconque du fluide <math>\; M(x,y,z)</math> et à un instant quelconque <math>\; t</math>, les champs de pression <math>\; p(x,y,z,t)</math> et de vitesse <math>\vec{v}(x,y,z,t)</math> vérifient les relations:

<math>\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0</math>

<math>\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f} + \nu \nabla^2 \vec{v}</math>

En coordonnées cartésiennes <math>\; (x_1, x_2, x_3)</math>, ces relations s'écrivent

<math>\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0</math>

<math>\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j + \nu \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2 v_j}{\partial x_i^2}\; , \; \; j = 1,2,3</math>