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En géométrie différentielle, sur un fibré vectoriel réel <math>E\rightarrow P</math>, une forme symplectique <math>\omega</math> est la donnée d'une famille de formes bilinéaires non dégénérées <math>\omega_x</math> sur les fibres <math>E_x</math> dépendant de manière <math> C^{\infty}</math> du point <math> x \in P</math>. De manière plus rigoureuse, une forme symplectique est une section globale <math>x\mapsto \omega_x</math> de <math>E^*\wedge E^*\rightarrow P</math> qui soit en tout point non dégénérée.

Cependant, sur une variété différentielle <math>M</math>, une forme symplectique <math>\omega</math> est une 2-forme différentielle non dégénérée et fermée. Plus explicitement, on impose les conditions suivantes :

• La forme <math>\omega</math> est non dégénérée, id est, en tout point <math>x</math>, la forme bilinéaire antisymétrique <math>\omega_x</math> est non dégénérée.

• La forme <math>\omega</math> est fermée, au sens où : <math> d\omega</math>.

En particulier, <math>(TM,\omega)</math> est un fibré symplectique, mais la définition d'une forme symplectique ne se limite pas à cette simple propriété. La condition d'être fermée implique l'unicité locale fournie par le théorème de Darboux.

[modifier] Exemples

• Si <math>F\rightarrow P</math> est un fibré vectoriel, alors il existe une forme symplectique sur le fibré vectoriel <math>E=F\oplus F^*</math> donnée par :

<math>\omega\left[f_1\oplus f_1^*,f_2\oplus f_2^*\right]=f_1^*(f_2)-f_2^*(f_1)</math>

Ce premier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

• Si <math>(M,\omega)</math> est une variété symplectique de dimension <math>2n</math>, et que <math>P</math> est une sous-variété différentielle de <math> M</math>, alors :
  • Le fibré tangent de <math>M</math> se restreint en un fibré de rang <math>2n</math> sur <math>P</math>, noté <math>T_PM\rightarrow P</math>. Et <math>(T_PM,\omega)</math> est un fibré symplectique.
  • Si en tout point x de P, la forme bilineaire <math>\omega_x</math> est non degeneree en restriction a l'espace tangent <math>T_xP</math>, alors, <math>\iota^*\omega</math> est une forme symplectique sur P.

[modifier] Existence

L'existence des formes symplectiques sur les varietes differentielles est une question ouverte.