Fonction monotone

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Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Monotonie au sens large
- 1.2 Monotonie stricte
2 Propriétés
3 Lien interne

[modifier] Définitions

Toutes les fonctions considérées ici sont à valeurs réelles, et définies sur des intervalles de <math>\ \R</math> non réduits à un point.

Soient un intervalle <math>\ I</math> de <math>\R</math> et une fonction <math>\ f : I \to \R</math>.

[modifier] Monotonie au sens large

On dit que <math>\ f</math> est :

croissante (ou : croissante au sens large) sur <math>\ I</math> si

pour tout couple <math>\ (x_1,\, x_2)</math> d'éléments de <math>\ I</math> tels que <math>\ x_1 \leq x_2 </math>, on a <math>\ f(x_1) \leq f(x_2) </math>.

décroissante (ou : décroissante au sens large) sur <math>\ I</math> si

pour tout couple <math>\ (x_1,\, x_2)</math> d'éléments de <math>\ I</math> tels que <math>\ x_1 \leq x_2 </math>, on a <math>\ f(x_1) \geq f(x_2) </math>.

monotone (ou : monotone au sens large) sur <math>\ I</math> si elle est croissante sur <math>\ I</math> ou décroissante sur <math>\ I</math>.

Étant donné un intervalle <math>\ I'</math> inclus dans <math>\ I</math>, on dit que <math>\ f</math> est croissante (ou bien : décroissante, monotone) sur <math>\ I'</math> si sa restriction à cet intervalle a la propriété en question.

Exemple : pour tout <math>\ x \in \R</math>, notons ici <math>\ \mathrm{E}(x)</math> la partie entière de <math>\ x </math> ; c'est l'unique entier <math>\ k \in \mathbb{Z}</math> tel que <math>\ k \leq x < k + 1</math>.

La fonction <math>\ f : \R \to \R, x \mapsto \mathrm{E}(x)</math> est croissante sur <math>\ \R</math>.

Mais elle n'est pas strictement croissante (cf. infra), car elle est constante sur chaque intervalle <math>\ [i,\, i + 1[</math>, où <math>\ i \in \mathbb{Z}</math>.

Nota : pour qu'une fonction <math>\ f</math> soit croissante sur <math>\ I</math>, il faut et il suffit que <math>\ -f</math> soit décroissante sur <math>\ I</math>.

[modifier] Monotonie stricte

On dit que <math>\ f</math> est :

strictement croissante sur <math>\ I</math> si

pour tout couple <math>\ (x_1,\, x_2)</math> d'éléments de <math>\ I</math> tels que <math>\ x_1 < x_2 </math>, on a <math>\ f(x_1) < f(x_2) </math>.

strictement décroissante sur <math>\ I</math> si

pour tout couple <math>\ (x_1,\, x_2)</math> d'éléments de <math>\ I</math> tels que <math>\ x_1 < x_2 </math>, on a <math>\ f(x_1) > f(x_2) </math>.

strictement monotone sur <math>\ I</math> si elle est strictement croissante sur <math>\ I</math> ou strictement décroissante sur <math>\ I</math>.

Étant donné un intervalle <math>\ I'</math> inclus dans <math>\ I</math>, on dit que <math>\ f</math> est strictement croissante (ou bien : strictement décroissante, strictement monotone) sur <math>\ I'</math> si sa restriction à cet intervalle a la propriété en question.

Exemples : soit <math>\ n \in \mathbb{N}^\star</math>.

La fonction <math>\ f : \R^+ \to \R, x \mapsto x^n</math> est strictement croissante sur <math>\ \R^+</math>.

En effet, si <math>\ a, b, a', b'</math> sont des réels tels que <math>\ 0 \leq a < b</math> et <math>\ 0 \leq a' < b'</math>, alors <math>\ a\, a' < b\, b'</math>. On en déduit par récurrence sur l'entier <math>\ n</math> que pour tout couple <math>\ (x_1,\, x_2)</math> de réels positifs ou nuls tels que <math>\ x_1 < x_2 </math>, on a <math>\ x_1^n < x_2^n </math>.

Lorsque <math>\ n</math> est impair, la fonction <math>\ f : \R \to \R, x \mapsto x^n</math> est strictement croissante sur <math>\ \R</math>.

En effet, elle est strictement croissante sur <math>\ \R^+</math> (cf. l'exemple précédent) et impaire.

Nota : pour qu'une fonction <math>\ f</math> soit strictement croissante sur <math>\ I</math>, il faut et il suffit que <math>\ -f</math> soit strictement décroissante sur <math>\ I</math>.

Remarque : pour qu'une fonction monotone <math>\ f : I \to \R</math> ne le soit pas strictement, il faut et il suffit qu'il existe un intervalle <math>\ I'</math> inclus dans <math>\ I</math>, et non réduit à un point, sur lequel la fonction <math>\ f</math> est constante.

En effet, supposons (par exemple) que <math>\ f</math> soit croissante sur <math>\ I</math>.

Il est clair que s'il existe un intervalle <math>\ I'</math> vérifiant les propriétés indiquées ci-dessus, alors <math>\ f</math> n'est pas strictement croissante.
Réciproquement, dire que <math>\ f</math> n'est pas strictement croissante signifie qu'il existe un couple <math>\ (a_1,\, a_2)</math> d'éléments de <math>\ I</math> tels que <math>\ a_1 < a_2 </math>, et que <math>\ f(a_1) < f(a_2) </math> n'ait pas lieu, c'est-à-dire tel que <math>\ f(a_1) \geq f(a_2) </math>.

Comme <math>\ f</math> est croissante, on a par ailleurs <math>\ f(a_1) \leq f(a_2) </math>, donc <math>\ f(a_1) = f(a_2) </math>.

Alors, pour tout <math>\ x \in [a_1,\, a_2]</math>, <math>a_1 \leq x \leq a_2</math> donc par croissance de <math>\ f</math>, <math>f(a_1) \leq f(x) \leq f(a_2) = f(a_1)</math>, ou encore <math>\ f(x) = f(a_1)</math>, ce qui prouve que <math>\ f</math> est constante sur <math>\ [a_1,\, a_2]</math>.

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés élémentaires

[modifier] Opérations algébriques

Soient deux fonctions croissantes sur <math>\ I</math>. Alors :

leur somme est croissante
si elles sont à valeurs positives, leur produit est croissant

(propriété analogue pour les fonctions strictement croissantes).

[modifier] Composition

Soient deux fonctions <math>\ f : I \to \R</math> et <math>\ g : J \to \R</math>, où <math>\ I,\, J</math> sont deux intervalles de <math>\ \R</math> tels que <math>\ f(I) \subset J</math> ; on peut définir la fonction composée <math>\ g \circ f : I \to \R</math>.

Si <math>\ f</math> est monotone sur <math>\ I</math> et <math>\ g</math> monotone sur <math>\ J</math>, alors <math>\ g \circ f </math> est monotone sur <math>\ I</math>. Plus précisément :

si <math>\ f</math> et <math>\ g</math> sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors <math>\ g \circ f </math> est croissante.
si l'une des deux fonctions <math>\ f</math>, <math>\ g</math> est croissante et l'autre décroissante, alors <math>\ g \circ f </math> est décroissante

(propriété analogue pour les fonctions strictement monotones).

[modifier] Propriétés relatives à la continuité et aux limites

[modifier] Points de discontinuité

L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone est fini ou dénombrable (on dit qu'il est au plus dénombrable).

[modifier] Théorème de la limite monotone (pour les fonctions)

Soient <math>\ ]a,\, b[</math> un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante <math>\ f :\, ]a,\, b[\, \to \R</math>. Alors :

la fonction admet en tout point <math>\ x_0</math> une limite à droite et une limite à gauche, qu'on note respectivement <math>\ f(x_0+)</math> et <math>\ f(x_0-)</math> ; elles vérifient la double inégalité <math>\ f(x_0-) \leq f(x_0) \leq f(x_0+)</math>
la fonction admet à la borne de droite de l'intervalle une limite, finie ou non ; cette limite est finie si et seulement si <math>\ f </math> est majorée, et dans le cas contraire est <math>\ +\infty</math>
la fonction admet à la borne de gauche de l'intervalle une limite, finie ou non ; cette limite est finie si et seulement si <math>\ f </math> est minorée, et dans le cas contraire est <math>\ -\infty</math>

(théorème analogue pour les fonctions décroissantes ; il se déduit immédiatement du précédent en remplaçant <math>\ f </math> par <math>\ -f </math>).

voir aussi Théorème de la limite monotone.

Une application classique de ce théorème concerne les fonctions de répartition des variables aléatoires à valeurs dans <math>\ \R </math>.

[modifier] Monotonie et dérivabilité

Une utilisation classique et importante du calcul différentiel est la caractérisation, parmi les fonctions dérivables (d'une variable réelle, et à valeurs réelles), de celles qui sont monotones (au sens large ou au sens strict) sur un intervalle.

[modifier] Théorème

Soit une fonction <math>\ f : I \to \R</math> dérivable sur l'intervalle <math>\ I</math>. Alors :

la fonction <math>\ f : I \to \R</math> est croissante sur <math>\ I </math> si et seulement si pour tout <math>\ x \in I,\, f'(x) \geq 0</math>.
la fonction <math>\ f : I \to \R</math> est strictement croissante sur <math>\ I </math> si et seulement si pour tout <math>\ x \in I,\, f'(x) \geq 0</math>, et de plus l'ensemble des points où la dérivée <math>\ f'</math> s'annule est d'intérieur vide (c'est-à-dire que chaque intervalle qu'il contient est vide ou réduit à un point).

(théorème analogue pour caractériser, parmi les fonctions dérivables, celles qui sont décroissantes, ou strictement décroissantes).

Démonstration :

Supposons <math>\ f : I \to \R</math> croissante sur <math>\ I </math>. Soit <math>\ x \in I </math> ; il existe un réel strictement positif <math>\ \alpha </math> tel que <math>\ J_\alpha \neq \emptyset</math>, où <math>\ J_\alpha = [x - \alpha,\, x + \alpha] \cap I </math>. Pour tout <math>\ h \in \R^\star </math> tel que <math> x + h \in J_\alpha</math>, <math>\ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \geq 0</math> par croissance de <math>\ f </math>

(si <math>\ h > 0 </math>, le numérateur est positif ou nul, et si <math>\ h < 0 </math>, le numérateur est négatif ou nul).

On conclut que la dérivée <math>\ f'(x)</math> est positive ou nulle, car c'est la limite quand <math>\ h \to 0</math> du quotient précédent, à valeurs dans <math>\ \R^+</math>.

Réciproquement, supposons que pour tout <math>\ x \in I,\, f'(x) \geq 0</math>. Soit un couple <math>\ (x_1,\, x_2) </math> d'éléments de <math>\ I</math> tels que <math>\ x_1 \leq x_2</math> : on va montrer que <math>\ f(x_1) \leq f(x_2)</math>.
- C'est clair si <math>\ x_1 = x_2</math>.
- Si <math>\ x_1 < x_2</math>, on peut appliquer à <math>\ f</math> le théorème des accroissements finis sur l'intervalle <math>\ [x_1,\, x_2]</math> : il existe <math>\ c \in\, ]x_1,\, x_2[\,</math> tel que <math>\ f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1) f'(c)</math> ; comme <math>\ f'(c) \geq 0</math> (par hypothèse) et que <math>\ x_2 - x_1 > 0</math>, on en déduit <math>\ f(x_2) - f(x_1) \geq 0</math>, d'où la croissance de <math>\ f </math> sur <math>\ I </math>.
On établit enfin la caractérisation, parmi les fonctions dérivables sur <math>\ I </math>, de celles qui sont strictement croissantes. D'après ce qu'on vient de prouver, une fonction dérivable est croissante sur <math>\ I </math> si et seulement si sa dérivée est à valeurs positives ou nulles ; parmi ces fonctions croissantes, celles qui ne le sont pas strictement sont celles pour lesquelles il existe un intervalle <math>\ I'</math> inclus dans <math>\ I</math>, non réduit à un point, où elles sont constantes (cf. la remarque faite supra) ; autrement dit, ce sont celles pour lesquelles il existe un intervalle <math>\ I'</math> inclus dans <math>\ I</math>, non réduit à un point, où leur dérivée est identiquement nulle : les autres sont les fonctions strictement croissantes.

Remarque : il en résulte qu'une condition suffisante pour qu'une fonction dérivable <math>\ f : I \to \R</math> soit strictement croissante sur <math>\ I </math> est que pour tout <math>\ x \in I,\, f'(x) > 0</math>. Mais cette condition n'est nullement nécessaire, comme le montrent les deux exemples suivants.

Exemple 1 : soit la fonction <math>\ f : \R \to \R,\, x \mapsto x^3</math>. Elle est strictement croissante sur <math>\ \R</math>. En effet :

elle est dérivable, et pour tout <math>\ x \in \R,\, f'(x) = 3\, x^2 \geq 0</math>
de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est <math>\ \{0\}</math> ; il est d'intérieur vide.

Exemple 2 : soit la fonction <math>\ f : \R \to \R,\, x \mapsto x + \cos x</math>. Elle est strictement croissante sur <math>\ \R</math>. En effet :

elle est dérivable, et pour tout <math>\ x \in \R,\, f'(x) = 1 - \sin x \geq 0</math>
de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est <math>\ \frac{\pi}{2} + 2\, \pi\, \mathbb{Z} = \left\{x \in \R\, /\, \exists\, k \in \mathbb{Z}, x = \frac{\pi}{2} + 2\, k\, \pi\right\}</math> ; il est d'intérieur vide (car dénombrable).