Fonction harmonique
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En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction deux fois continûment dérivable : <math> f: U \rightarrow \mathbb{R}</math> (Où U est un ouvert de <math>\mathbb{R}^n</math>) qui satisfait l'équation de Laplace:
- <math>\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} +
\frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0 </math> Sur tout U.
On écrit aussi :
- <math>\nabla^2 f = 0</math> ou <math>\Delta f = 0</math>
Un exemple particulier est constitué des fonctions partie réelle et partie imaginaire déduites d'une fonction holomorphe.
Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : une fonction continue étant donnée sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger en une fonction harmonique dans tout l'intérieur de cet ouvert?de:Harmonische Funktion en:Harmonic function he:פונקציה הרמונית it:Funzione armonica ja:調和関数 pl:Funkcja harmoniczna ru:Гармоническая функция
