Figure de la Terre

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La détermination de la figure de la Terre, autrement dit l'étude de la forme de la surface externe du globe terrestre et de ses dimensions, constitue l'une des tâches classiques de la géodésie. Elle fournit des informations essentielles pour la géophysique et la géodynamique théorique. Il convient de remarquer, cependant, qu'une surface générale est le plus souvent un objet géométrique auquel on n'associe pas de propriétés physiques particulières. Tel n'est pas le cas de la figure de la Terre, que l'on doit déterminer en faisant intervenir, d'une manière ou d'une autre, le champ de pesanteur terrestre. De ce fait, on doit associer à la forme géométrique des propriétés physiques : la plupart des surfaces qu'on définira pour représenter la figure de la Terre sont des surfaces de niveau, ou surfaces équipotentielles, autrement dit, des surfaces sur lesquelles le potentiel de pesanteur est constant. Il n'existe pas une seule définition de la figure de la Terre, mais plusieurs qui ont chacune leur utilité et leur raison d'être. Ainsi, en-dehors de la figure topographique (ou topoïde), qui n'est pas une surface de niveau mais dont les diverses cotes font quand-même appel à la pesanteur, on définit une figure équipotentielle ellipsoïdale (ou ellipsoïde normal), une figure d'équilibre hydrostatique (ou hydroïde) et une finalement une surface équipotentielle qui décrit au mieux le champ de pesanteur dans lequel se meuvent les satellites artificiels. Cette dernière, appelée le géoïde, est de plus en plus considérée comme la figure de la Terre, mais c'est oublier que pour les géographes le topoïde est la surface la plus importante, que pour les géodésiens l'ellipsoïde joue un rôle bien plus important que le géoïde, et que les géophysiciens font souvent appel aux propriétés de l'hydroïde plutôt qu'à celles du géoïde. Tous comptes faits, ce sont surtout les géophysiciens s'occupant de dynamique du manteau et de tectonique globale qui font appel au géoïde.

Sommaire

1 Aspects historiques
2 Surface topographique, ou « topoïde »
3 Figure géodésique de référence : ellipsoïde normal, ou « sphéroïde »
4 Figure hydrostatique, ou « hydroïde »
5 Figure dynamique, ou « géoïde »
6 Bibliographie
7 Liens internes

[modifier] Aspects historiques

Les premières hypothèses concernant la forme de la Terre remontent à la nuit des temps, mais ce n'est qu'au cours du premier millénaire avant notre ère que l'hypothèse d'une forme sphérique fut formulée explicitement, et ne fut ensuite plus guère mise en doute par les gens érudits jusqu'à la deuxième moitié du XVII^e siècle. A cette époque les travaux de Christiaan Huyghens (1629–1695) sur la force centrifuge et la parution en 1687 de l'ouvrage d'Isaac Newton (1643–1727) « Principia mathematica philosophiae naturalis », ainsi que les mesures de grands arcs géodésiques en France, ont conduit à penser que la forme de la Terre devait être celle d'un ellipsoïde de révolution, autrement dit celle d'un sphéroïde au sens restreint.<ref>Un sphéroïde au sens large désigne une forme vaguement sphérique qui peut présenter des creux et des bosses de profondeurs ou de hauteurs peu inportantes par rapport au diamètre principal du corps.</ref>

La première détermination connue du rayon R de la sphère terrestre est due au savant alexandrin Ératosthène de Cyrène (273–192 Av. J.-C.). La méthode de mesure qu'Ératosthène inventa, et qui porte son nom, fait de lui le véritable fondateur de la géodésie, même si la valeur de R obtenue à l'époque devait se situer au mieux aux alentours de 10% de la valeur réelle. Au cours de nombreux siècles qui suivirent les travaux d'Ératosthène, on essaya d'améliorer la connaissance de la valeur du rayon terrestre : des Grecs, des Arabes, des Chinois, des Anglais et des Français, pour ne citer que les principales nations qui au départ ont participé à cette quête. La dernière détermination de R basée sur l'idée d'une Terre sphérique fut celle de l'abbé Jean Picard (1620–1682). Bien que très vite après les mesures de Picard on se soit aperçu qu'en première approximation la forme de la Terre n'était pas une sphère, mais plutôt un ellipsoïde de révolution faiblement aplati, la valeur R obtenue par Picard fournit avec une bonne précision le rayon moyen de la Terre. Cela est dû au fait que les mesures de Picard furent effectuées dans les environs de Paris, donc à des latitudes moyennes, où la distance de la surface au centre de la Terre est proche de la valeur du rayon de la sphère qui possède le même volume que l'ellipsoide.

[modifier] Surface topographique, ou « topoïde »

[modifier] Figure géodésique de référence : ellipsoïde normal, ou « sphéroïde »

[modifier] Figure hydrostatique, ou « hydroïde »

[modifier] Figure dynamique, ou « géoïde »

[modifier] Bibliographie

[modifier] Liens internes

A compléter ....

Voici la version originale de l'article :

On appelle figure de la Terre l'étude de la forme du globe terrestre approchée actuellement par le géoïde terrestre, généré par la correction de l'ellipsoïde de révolution du WGS84. Son étude est un des objectifs de la géodésie.

La convention de 1979 a fixé :

a = rayon équatorial = 6 378 137,000 m (définition)
GM = 3,986005×10¹⁴ m³/s²
J2 = 1,08263×10^-3
T = 86164,1 s
donc m : = <math>\omega^2 a / (GM/a^2)</math> ≈ 1/17^2

D'autres données sont accessibles à ellipsoïde de révolution, ellipsoïde terrestre, exemple du WGS84. b = 6 356, 752 314 km

a-b ≈ 21.4km ; f := 0.003, 352 810 703 = 1/ 298. 257 2202; e = 0.081 819 191 32

Au fur et à mesure que les satellites de détection envoient leurs résultat, la figure de la Terre est de mieux en mieux connue. Des systèmes de data tels que GRIM4 [1] permettent de raffiner les résultats et d'obtenir en temps réel l'écartement des plaque tectonique et les soulèvements des montagnes.La précision actuelle est de l'ordre du centimètre pour tout point du globe, ce qui est remarquable, sachant que les marées terrestres atteignent 40cm : on voit se gonfler et se dégonfler la Terre sous l'action de la Lune et du Soleil. Évidemment chacun sait bien que la marée océanique, dûe à la même influence, est plus ou moins importante selon les côtes. Enfin la marée atmosphérique est elle aussi très importante et se superpose à l'effet d'échauffement jour-nuit, été-hiver.

Effet remarquable, mais plus étonnant : la mer n'est pas au zéro d'altitude : elle présente aussi des creux et des bosses de quelques dizaines de mètres, reflétant d'une part la position des fosses marines et de la dorsale du rift, mais d'autre part d'inégales répartitions de masses dans le manteau terrestre .

[modifier] Le premier calcul

Excellente introduction historique sur [2]

Le premier calcul du méridien terrestre est attribué à Ératosthène, à Alexandrie, qui a mesuré la longueur du degré de latitude environ 110km.

On ne fera pas mieux pendant des siècles. Les frères Ben Musa reprennent la mesure et trouvent sensiblement la même valeur.

Mais la Terre était-elle ronde , rigoureusement? le problème délicat de mesurer la longitude est très difficile, tant que de bons chronomètres ne sont pas au point ( cf Harrison). On pense qu'une erreur énorme devait guider Christophe Colomb pour embarquer vers les Indes : son voyage n'aurait eu aucune chance de faire Atlantique + Pacifique d'une traite.

Au XVII^e siècle, Picard fait la mesure de l'arc de méridienne avec une précision exemplaire. Et il pose le problème de la "figure de la Terre" : deux théories s'affrontent : du fait du pivotement de la Terre, elle est en forme allongée (Cassini) , ou en forme aplatie sous l'action de l'action centrifuge, d'OdG (ordre de grandeur) m = 1/289 ( Huygens et Newton).

Huygens fait le calcul simpliste : V+U = -GM/r -<math>\omega^2r^2/2</math> = cste et trouve un aplatissement:

f = (1/2).m = 1/578.

Newton est plus subtil : il savait que pour un ellipsoïde de masse volumique uniforme gravitation au pôle / gravitation equatoriale = ( 1+1/5 f).

D'autre part , en refléchissant à la pression P(r), il trouve que ce rapport vaut a/b .(1-m), d'où :

f = (5/4).m = 1/231 .

Comme la Terre n'est pas homogène, le résultat est forcément entre celui-ci et celui de Huygens.

La célèbre expédition de Maupertuis en Laponie (1636) et celle de Bouguer en Equateur ( 1636-1642?) confirmera la théorie de Newton.Maupertuis aurait dû trouver le degré d'arc =111.111km*(1+f) ; et Bouguer 111.111km*(1-2f): Bouguer fut le plus exact.

[modifier] la théorie de Clairaut

Rentré de Laponie, en 1737, Clairaut (1713-1765) va donner sa propre théorie de la figure de la Terre (1743):

Le potentiel de pesanteur est celui de la gravitation V (r , <math>\theta</math>) et celui de la force centrifuge U = -1/2 <math>\omega^2 r^2 sin^2 \theta</math>. En première approximation, V = - GM/r + GM. J2 . a²/r³ ( 3 cos²<math>\theta</math> - 1)/2 . ( cf quadrupôle). Clairaut exprime le fait que la surface des océans est une équipotentielle de V+U, donc de révolution.

On cherche une solution de type ellipsoïdal r = a/sqrt(1+ 2f cos²(theta)) , f petit ~ aplatissement ( cf ellipsoïde de révolution); soit r = a ( 1-f cos²(theta)) : remplacer r dans l'équation précédente et identifier à zéro le coefficient de cos (theta) ; obtenir :

f = 3/2 J2 + m/2 = 1/298.

Et donc b= 6 356 734 m.

C'est ce que donne la théorie au premier ordre ( l'erreur sur b est moindre que 50m )

Rappelons que Newton avait obtenu via J2 = (C-A)/Ma² = 2/5 f , f = 5/4 m = 1/231

Huygens s'était contenté , oubliant le J2, de la valeur f = m/2 = 1/578.

Clairaut continue en trouvant g = - grad (V+U) calculé sur l'équipotentielle de référence -Gm/a(1+J2-m)= V+U.

Il trouve donc g-equateur = go(1+3/2.J2-m) ; et g-polaire = g-equateur(1+ beta ),

avec <math>\beta</math> = 5/2 .m -f.

Et la verticale ne passe plus par le centre de la Terre : il convient de distinguer Theta, colatitude astronomique, angle entre l'axe et la normale et theta colatitude radiale.

Et il calculera donc g = g(90°)( 1+ <math>\beta</math> cos²<math>\Theta</math>)

De nos jours , on utilise la formule de Somigliana.

[modifier] les calculs de Radau

La théorie fut poussée au deuxième ordre par AIRY (1801-1892)(créateur de l'isostasie). On compte cette fois les termes en J4 et on développe en fonction de f et m au deuxième ordre. On trouve toujours un ellipsoïde mais cette fois les calculs sont un peu plus précis :

f= 1/296.257 ;

g = g(90°) [ 1 + (5/2.m- f-17/14 mf) sin²<math>\Theta</math> + (f²/8 -5/8 mf)sin²2<math>\Theta</math>] soit g (90°) = 9.780327 ; ( A) = 0.0053023 et (B) = 0.0000058.

Radau va poursuivre en regardant l'intérieur de la Terre et essayer d'y découvrir les discontinuités manteau-noyau. Poincaré poursuivra ces travaux ; mais clairement la Terre n'est pas une masse fluide en rotation.