Dérivation itérée
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Soit <math>\ f</math> une fonction de <math>\mathbb R</math>vers <math>\mathbb R</math> définie sur un intervalle <math>\ I</math> de <math>\mathbb R</math> (non réduit à un point).
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[modifier] Dérivée première sur un intervalle
Lorsque la dérivée <math>f \,'(x_0)</math> existe pour tout <math>\ x_0 \in \, I</math>, on dit que <math>\ f</math> est « dérivable sur <math>\ I</math> ».
On définit dans ce cas la fonction <math>f\,' : I \to \mathbb{R},\, x \mapsto f\,'(x)</math>.
Cette fonction <math>\ f \,'</math> s'appelle la « fonction dérivée de <math>\ f</math> sur <math>\ I</math> » ou « fonction dérivée première de <math>\ f</math> sur <math>\ I</math> » et se note également <math>\ f^{(1)}</math>.
- Article détaillé : Dérivabilité.
[modifier] Dérivée seconde sur un intervalle
Lorsque <math>\ f</math> est dérivable sur <math>\ I</math> et que la fonction <math>\ f \,'</math> est elle-même dérivable sur <math>\ I</math>, sa fonction dérivée sur <math>\ I</math>, <math>\ \left ( \, f \,' \, \right )'</math>, s'appelle la fonction « dérivée seconde de <math>\ f</math> sur <math>\ I</math> » et se note <math>\ f \,</math> ou <math>\ f^{(2)}</math>. On dit alors que <math>\ f</math> est « dérivable deux fois sur <math>\ I</math> ».
- Article détaillé : Dérivée seconde.
[modifier] Dérivée ne sur un intervalle
On définit par récurrence (sous réserve d'existence) les « dérivées successives de ƒ sur I » par l’égalité
- <math>\ f^{(n+1)}=\ \left ( \, f^{(n)} \, \right )'.</math>
La fonction ƒ(n) (où n ≥ 1) est appelée fonction « dérivée ne (ou d'ordre n) de ƒ sur I ».
Lorsqu'elle existe, on dit que ƒ est « dérivable n fois sur I ». Dans ce cas, toutes les dérivées successives de ƒ ayant un ordre strictement inférieur à n sont continues sur I, puisqu'elles y sont dérivables ; mais ƒ(n) n'est pas nécessairement continue sur I : c'est ce qui motive la définition donnée infra des fonctions de classe Cn.
- Nota
On convient de définir la fonction dérivée d'ordre 0 de ƒ en posant ƒ(0) = ƒ.
[modifier] Classe Cn
Soit n un entier naturel non nul. On dit que la fonction <math>\ f</math> est de classe <math>\ \mathrm{C}^n</math> (ou n fois continûment dérivable) sur <math>\ I</math> si elle est n fois dérivable sur <math>\ I</math> et si la fonction <math>\ f^{(n)}</math> est continue sur <math>\ I</math>.
Conformément à la convention indiquée supra, la fonction <math>\ f</math> est dite de classe <math>\ \mathrm{C}^0</math> sur <math>\ I</math> si elle est continue sur <math>\ I</math>.
La fonction <math>\ f</math> est dite de classe <math>\ \mathrm{C}^\infty</math> (ou indéfiniment dérivable) sur <math>\ I</math> si pour tout <math>\ n \in \mathbb{N}^\star</math>, elle est dérivable n fois sur <math>\ I</math>.
Cela revient à dire que pour tout <math>\ n \in \mathbb{N}^\star</math>, <math>\ f</math> est de classe <math>\ \mathrm{C}^n</math> sur <math>\ I</math>.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Articles connexes
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