Cycle de Carnot

Un article de Wikivisual, l'encyclopédie libre.

Sommaire

1 Introduction
2 Description du cycle
3 Le rendement de Carnot
4 Liens internes
5 Liens externes

[modifier] Introduction

En thermodynamique, le cycle de Carnot décrit le processus cyclique réversible de la machine de Carnot. Cette machine produit du travail (c'est un moteur) à partir de deux sources de chaleur de température différentes. Un gaz, considéré comme parfait, subit des transformations caractéristiques pour fournir du travail mécanique.

[modifier] Description du cycle

Carnot cherchait à faire un cycle avec le meilleur rendement possible. Ainsi chaque rendement d'une machine thermodynamique peut etre comparé avec le rendement du cycle de Carnot. Il sert de cycle de référence.

Le cycle est composé de 4 processus ( 2 isothermes et 2 adiabatiques) :

1 : Compression adiabatique
2 : Détente isotherme
3 : Détente adiabatique
4 : Compression isotherme

Le deuxième principe de la thermodynamique permet d'établir l'égalité de Clausius-Carnot :

avec:

<math>Q_f</math> transfert thermique avec la source froide (compté négativement).
<math>Q_c</math> transfert thermique avec la source chaude (compté positivement).
<math>T_f</math> température absolue de la source froide.
<math>T_c</math> température absolue de la source chaude.

[modifier] Le rendement de Carnot

De nombreux systèmes thermodynamiques ont un rendement défini à partir de celui du Cycle de Carnot, qui est un cycle purement théorique :

<math>A_{tot} = A_{1,2} + A_{2,3} + A_{3,4} + A_{4,1}</math> et <math>Q_c =</math> chaleurs positives

Donc pour chaque processus :

1-2 :
- <math>Q_{1,2} = 0 = A_{1,2} + \delta U_{1,2}</math>
- d'où : <math>A_{1,2} = - \delta U_{1,2} = - \frac{i}{2}nR(T_2 - T_1), T_2 > T_1</math>
2-3 :
- <math>Q_{2,3} = A_{2,3} = p_2 V_2 \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)</math>
- <math>\delta U_{2,3} = 0</math> car isotherme
3-4 :
- <math>Q_{3,4} = 0 = A_{3,4} + \delta U_{3,4}</math>
- d'où : <math>A_{3,4} = - \delta U_{3,4} = - \frac{i}{2}nR(T_4 - T_3), T_3 = T_2 = T_c, T_4 = T_1 = T_f</math>
4-1 :
- <math>Q_{4,1} = A_{4,1} = p_4 V_4 \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)</math>
- <math>\delta U_{4,1} = 0</math> car isotherme

Donc :

<math>A_{tot} = nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right) + nRT_f \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)</math>
<math>Q_c = nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)</math>

<math>\eta = \frac{A_{tot}}{Q_c}=\frac{nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right) + nRT_f \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)}{nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)} = 1 + \frac{T_f}{T_c} \frac{\ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)}{\ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)} = 1 - \frac{T_f}{T_c} \frac{\ln\left(\frac{V_4}{V_1}\right)}{\ln\left(\frac{V_2}{V_3}\right)}</math>

Mais nous avons l'équation d'état du processus adiabatique : <math> T \times V^{\gamma -1} = Constante</math> d'où :

1-2 : <math>T_f V_1 ^{\gamma -1} = T_c V_2 ^{\gamma -1}</math>
3-4 : <math>T_f V_4 ^{\gamma -1} = T_c V_3 ^{\gamma -1}</math>

Et donc le rapport : <math>\frac{T_f V_1 ^{\gamma -1}}{T_f V_4 ^{\gamma -1} } = \frac{T_c V_2 ^{\gamma -1}}{T_c V_3 ^{\gamma -1}}</math> donc : <math>\frac{V_1}{V_4} = \frac{V_2}{V_3}</math> et finalement <math>\ln\left(\frac{V_4}{V_1}\right) = \ln\left(\frac{V_2}{V_3}\right)</math>

En incorporant ceci dans l'équation du rendement on obtient :

<math>\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c}</math> donc pour obtenir un rendement de 100%, il faut que <math>\frac{T_f}{T_c}</math> soit égal à 0 donc que <math>T_f</math> soit égal à 0K soit -273,15°C.