Couple (physique)
Un article de Wikivisual, l'encyclopédie libre.
- Pour les articles homonymes, voir Couple. Image:Disambig.svg
Sommaire |
[modifier] Définition
On appelle couple tout système d'actions mécaniques dont la résultante <math>\vec{R}</math> est nulle et le moment résultant <math>\vec{M}_0</math> par rapport à un point <math>O</math> est non-nul.
Remarque : ce moment est alors indépendant du point <math>O</math>, comme démontré ci-dessous.
[modifier] Propriété fondamentale du couple
[modifier] Rappel : moment d'une force
On rappelle que le moment par rapport à un point O d'une force dont le point d'application est au point M est défini par :
- <math> \vec{\mathcal{M}}_O \ = \ \vec{OM} \wedge \vec{F}(M)</math>
[modifier] Un théorème général
Supposons le système d'actions mécaniques représentable par un ensemble dénombrable de forces <math>\vec{F}_i </math> où l'indice <math>\ i = 1, \cdots, n</math>. Pour ce système d'actions mécaniques, le moment résultant est :
- <math> \vec{\mathcal{M}}_O \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{\mathcal{M}}_i
\ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{OM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i) </math>
Calculons alors le moment résultant par rapport à un autre point A :
- <math> \vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{AM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i) </math>
On écrit que chaque vecteur position se décompose comme suit :
- <math> \vec{AM}_i \ = \ \vec{AO} \ + \ \vec{OM}_i </math>
d'où le moment résultant :
- <math> \vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{AO} \wedge \vec{F}_i(M_i) \ + \ \sum_{i=1}^n \ \vec{OM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i)</math>
La seconde somme représente le moment résultant en O. De plus, dans la première somme, le vecteur <math> \vec{AO} </math> est indépendant de l'indice i ; on peut donc le sortir de la somme et écrire :
- <math> \sum_{i=1}^n \vec{AO} \wedge \vec{F}_i(M_i) \ = \ \vec{AO} \wedge \left[ \sum_{i=1}^n \vec{F}_i(M_i) \right] </math>
La somme qui apparait n'est autre que la résultante des forces :
- <math> \vec{R} \ = \ \sum_{i=1}^n \vec{F}_i(M_i) </math>
d'où le théorème général :
- <math> \vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \vec{\mathcal{M}}_O \ + \ \vec{AO} \wedge \vec{R}</math>
[modifier] Cas particulier du couple
Le couple étant un système d'actions mécaniques dont la résultante <math>\vec{R}</math> est nulle, son moment résultant est indépendant du point choisi pour le calculer :
- <math> \vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \vec{\mathcal{M}}_O </math>
On utilise souvent la notation <math> \vec{\Gamma}</math> pour représenter le moment résultant d'un couple. Compte-tenu du résulat précédent, il n'est en effet pas nécessaire de préciser le point choisi pour calculer le moment.
[modifier] Représentations d'un couple
Il existe une infinité de représentations différente d'un même couple <math> \vec{\Gamma}</math> donné.
[modifier] Représentation la plus simple
La plus simple, qui lui donne son nom, consiste à considérer un ensemble de deux forces :
- l'une, <math>\vec{F}_1</math>, appliqué en un point <math> M_1 </math> différent de l'origine <math> O </math> fixée.
- l'autre, <math>\vec{F}_2 \ = \ - \ \vec{F}_1</math>, appliqué en un point <math> M_2 </math> symétrique du point <math> M_1 </math> par rapport à l'origine <math> O </math>.
Ainsi, la résultante <math>\vec{R} \ = \ \vec{F}_1 \ + \ \vec{F}_2 \ = \ \vec{0}</math> est bien nulle. On suppose de plus que les vecteurs <math> \vec{F}_1 </math> et <math> \vec{F}_2 </math> ne sont pas colinéaires au vecteur <math> \vec{M_1M_2} </math> ; le cas le plus simple consiste à prendre les deux forces perpendiculaires à ce vecteur :
Si on note la distance <math> || \vec{OM}_1 || = || \vec{OM}_2 || = d </math>, la norme des forces <math> || \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = F </math>, et <math> \vec{u}</math> le vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure, le couple vaut explicitement :
- <math> \vec{\Gamma} \ = \ 2 \ d \ F \ \vec{u} </math>
[modifier] Exemples d'autres représentations
On peut représenter le même couple <math>\vec{\Gamma}</math> que dans l'exemple précédent par d'autres ensembles d'actions mécaniques. Par exemple, par deux forces :
- l'une, <math>\vec{F}_1</math>, appliqué au point <math> O </math> .
- l'autre, <math>\vec{F}_2 \ = \ - \ \vec{F}_1</math>, appliqué en un point <math> M_3 </math> situé à une distance non nulle de l'origine <math> O </math>.
Ainsi, la résultante <math>\vec{R} \ = \ \vec{F}_1 \ + \ \vec{F}_2 \ = \ \vec{0}</math> est toujours nulle. Pour simplifier, on peut encore supposer que les vecteurs <math> \vec{F}_1 </math> et <math> \vec{F}_2 </math> sont perpendiculaires au vecteur <math> \vec{OM_3} </math> :
Pour retrouver la même valeur du couple : <math> \vec{\Gamma} \ = \ 2 \ d \ F \ \vec{u} </math>, il suffit de prendre par exemple une combinaison du type :
- <math> || \vec{OM}_3 || = d </math> et : <math> || \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = 2F </math>
- ou : <math> || \vec{OM}_3 || = 2d </math> et : <math> || \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = F </math>
Il existe une infinité de représentations possibles ...
