Champ équiprojectif

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Dans un espace affine euclidien <math>E</math>, un champ de vecteurs <math>(\overrightarrow{V_P})_{P \in E}</math> est équiprojectif si :

<math>\forall P \in E, \forall Q \in E, (\overrightarrow{V_P} | \overrightarrow{PQ}) = (\overrightarrow{V_Q} | \overrightarrow{PQ})</math>

où <math>(\;|\;)</math> désigne le produit scalaire.

Il existe alors un endomorphisme antisymétrique <math>u</math> tel que :

<math>\forall P \in E, \forall Q \in E, \overrightarrow{V_Q} = \overrightarrow{V_P} + u(\overrightarrow{PQ)}</math>.

Sommaire

1 Démonstration
- 1.1 Antisymétrie
- 1.2 Linéarité
2 Cas de la dimension 3, torseur
3 Exemple
4 Voir aussi

[modifier] Démonstration

[modifier] Antisymétrie

Soit <math>O</math> un point arbitraire de <math>E</math>. Pour tout vecteur <math>\overrightarrow{x}</math>, il existe un unique point <math>P</math> tel que <math>\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP}</math> et on définit <math>u</math> par <math>u(\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{V_P} - \overrightarrow{V_O}</math>.

Montrons que, pour tous vecteurs <math>\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP}</math> et <math>\overrightarrow{y} = \overrightarrow{OQ}</math>, on a :

<math>(u(\overrightarrow{x}) | \overrightarrow{y}) = - (\overrightarrow{x} | u(\overrightarrow{y}))</math>

ce qui prouve l'antisymétrie de <math>u</math>.

On a en effet :

<math>(u(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{y}) = (\overrightarrow{V_P} - \overrightarrow{V_O}, \overrightarrow{OQ}) = (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OQ}) - (\overrightarrow{V_O}, \overrightarrow{OQ})</math>

<math>= (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OQ}) - (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ})</math> en utilisant l'équiprojectivité du champ <math>V</math>

<math>= (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ}) - (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ})</math>

<math>= (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{PQ}) - (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ})</math>

<math>= (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OP}) + (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{PQ}) - (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ})</math> en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.

Si on échange les rôles de <math>\overrightarrow{x}</math> et <math>\overrightarrow{y}</math>, on obtiendra :

<math>(\overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{y})) = (u(\overrightarrow{y}), \overrightarrow{x}) = (\overrightarrow{V_Q}, \overrightarrow{OQ}) + (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{QP}) - (\overrightarrow{V_P}, \overrightarrow{OP})</math>

On obtient bien :

<math>(u(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{y}) = - (\overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{y}))</math>

[modifier] Linéarité

On déduit de l'antisymétrie que <math>u</math> est linéaire. En effet, pour tout <math>\overrightarrow{x}</math>, <math>\overrightarrow{y}</math>, <math>\lambda</math>, on a :

<math>(u(\lambda \overrightarrow{x}), \overrightarrow{y}) = - (\lambda \overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{y})) = - \lambda (\overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{y})) = \lambda (u(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{y}) = (\lambda u(\overrightarrow{x}), \overrightarrow{y})</math>

Cette égalité étant vraie pour tout <math>\overrightarrow{y}</math>, on en déduit que :

<math>u(\lambda \overrightarrow{x}) = \lambda u(\overrightarrow{x})</math>

On procède de même pour montrer que :

<math>u(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{x'}) = u(\overrightarrow{x})+u(\overrightarrow{x'})</math>

[modifier] Cas de la dimension 3, torseur

Dans une base orthonormée directe, <math>u</math>, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique

<math>\begin{pmatrix}0 & -c & b\\

c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

Si on nomme <math>\overrightarrow {\Omega}</math> le vecteur de composantes <math>\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}</math>, alors la matrice précédente est celle de l'application <math>\overrightarrow x \to \overrightarrow \Omega \wedge \overrightarrow x</math>.

On a donc <math>\forall \overrightarrow{x}, u(\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{x}</math> et donc

<math>\overrightarrow{V_Q} = \overrightarrow{V_P} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{PQ}</math>

<math>(\overrightarrow{V_P})_{P \in E}</math> est le champ des moments d'un torseur de résultante <math>\overrightarrow{\Omega}</math>.

[modifier] Exemple

L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si <math>P</math> et <math>Q</math> sont deux points du solides, et si on note <math>d</math> la distance entre <math>P</math> et <math>Q</math>, on a :

<math>\| \overrightarrow{PQ}\|^2 = d^2 = (\overrightarrow{PQ} | \overrightarrow{PQ})</math>

et en dérivant par rapport au temps :

où <math>\overrightarrow{V}</math> désigne la vitesse en un point.

Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur <math>\overrightarrow{\Omega}</math> s'appelle vecteur instantané de rotation.