Cercle d'Euler

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En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle est le cercle passant :

par chacun des milieux des trois côtés du triangle,
par le pied de chacune des trois hauteurs du triangle,
par le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle.

De nombreux points remarquables du triangle sont situé sur ce cercle : de ce fait il possède plusieurs noms, parmi lesquels : cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, Cercle de Terquem, cercle des 6, 12 ou 24 points, cercle médian, etc.

Image:Triangle cercle euler.png

Cercle et droite d'Euler d'un triangle

[modifier] Définition et propriétés élémentaires

C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle <math>ABC</math> le centre de gravité <math>G</math>, le centre du cercle circonscrit <math>\Omega</math> et l'orthocentre <math>H</math> sont alignés. (Précisément, l'homothétie de centre <math>G</math> et de rapport <math>- \frac12</math> transforme <math>H</math> en <math>O</math>.)

Notons <math>I_1</math> le milieu de <math>[BC]</math>, <math>I_2</math> le milieu de <math>[AC]</math> et <math>I_3</math> le milieu de <math>[AC]</math>. Il n'est pas difficile de voir que cette même homotéthie transforme le triangle <math>ABC</math> en le triangle <math>I_1 I_2 I_3</math> et le cercle circonscrit de <math>ABC</math> en cercle circonscrit à <math>I_1 I_2 I_3</math> : ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler.

Comme cette même homothétie transforme chaque hauteur de <math>ABC</math> en l'une de ses médiatrices, on a également que les pieds des hauteurs de <math>ABC</math> sont sur le cercle d'Euler et que chacun des milieux des segment <math>[AH]</math>, <math>[BH]</math> et <math>[CH]</math> sont également sur le cercle d'Euler.

[modifier] Découvertes

Brianchon, Poncelet et Feuerbach ont montré indépendamment et à des dates assez proches que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs du triangle sont cocycliques, découvrant ainsi le cercle des 6 points.

Par la suite Olry Terquem ajoute à ce cercle les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre : le cercle porte depuis le nom de cercle des 9 points.

En 1822, Karl Feuerbach démontre que le cercle des 9 points est tangent extérieurement aux cercles exinscrits et tangent intérieurement au cercle inscrit du triangle. Ce résultat s'appelle le théorème de Feuerbach (et les points de tangences, les points de Feuerbach.

Depuis, on lui a ajouté quelques dizaines d'autres points remarquables du triangle