Aire de surfaces usuelles
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L'aire des surfaces usuelles s'exprime à l'aide de formules simples. On peut estimer l'aire d'une surface aux contours compliqués en sommant des aires de surfaces plus simples. Ce point de vue débouche sur le calcul des intégrales.
Sommaire |
[modifier] Aire de surfaces planes
[modifier] Carré
L'aire du carré se calcule en multipliant la longueur du côté par lui-même. Si le côté est nommé a, l'aire A vaut donc
- A = a².
D'où l'étymologie de l'expression carré d'un nombre.
[modifier] Rectangle
Si les longueurs des côtés sont <math>a</math> et <math>b</math>, alors l'aire du rectangle vaut le produit
- A = a × b.
[modifier] Triangle
Si ABC est un triangle (quelconque), soit h la hauteur du triangle en B (la longueur du segment [BH], H étant le projeté orthogonal de B sur (AC)) et b est la longueur du segment [AC], alors l'aire du triangle vaut
- A = (b × h) / 2.
Voir la preuve.
- Voir aussi : Formule de Héron.
[modifier] Trapèze
L'aire du trapèze vaut le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases.
[modifier] Losange
Si a et b sont les longueurs de ses diagonales, alors l'aire du losange est
- A = (a × b) / 2
Voir la preuve.
[modifier] Parallélogramme
Pour un parallélogramme dont les côtés adjacents ont pour longueurs a et b et forment un angle θ, l'aire vaut
- A = a × b × sin(θ)
Ou encore à la page Parallélogramme, on a : Soient 'b' la longueur d'un côté du parallélogramme et 'h' la longueur de la hauteur associée.L'aire du parallélogramme vaut : A = b × h
[modifier] Disque et ellipse
L'aire d'un disque de rayon r vaut
- A = π × r²
Cette formule se généralise à l'intérieur d'une ellipse dont a et b sont les demi-axes :
- A = π × a × b
[modifier] Aire en dimension 3
[modifier] Cube
L'aire du cube d'arête a vaut
- A = 6 × a²
il s'agit en effet de six carrés de côté a.
[modifier] Parallélépipède
L'aire du parallélépipède rectangle de côtés a, b et c vaut
- A = 2 × (ab + bc + ca) ;
en effet, ses faces sont des rectangles. Si le parallélépipède n'est pas rectangle, les faces sont des parallélogrammes, on tempère donc chaque produit par un sinus (cf. supra : parallélogramme).
[modifier] Sphère
L'aire d'une sphère de rayon r vaut
- A = 4 × π × r²
[modifier] Calotte ou zone sphérique
L'aire d'une calotte ou d'une zone sphérique de hauteur h située sur une sphère de rayon r vaut
- A = 2 × π × r × h
Ceci se montre en assimilant des bandes de hauteur infinitésimal dh à des bandes planes, et en intégrant sur dh.
[modifier] Tore
L'aire du tore ouvert de grand rayon R et de petit rayon r vaut
- A = 4 π² × r × R
[modifier] Cylindre
L'aire d' un cylindre de rayon de base r et de hauteur h vaut
- A = 2 × π × r ( h + r ) car A= 2 × aire de base + périmètre de base × hauteur = 2 π × r² + 2 π × r × h
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