Adhérence (mathématiques)

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Sommaire

1 Définitions
2 Exemples
3 Densité
4 Pièges
- 4.1 Boules ouvertes et boules fermées
- 4.2 Un point c'est petit

[modifier] Définitions

En topologie, l'adhérence d'une partie <math>X</math> d'un espace topologique <math>E</math> est le plus petit ensemble fermé de <math>E</math> qui contienne <math>X</math>. L'existence d'un tel fermé est claire: il existe au moins un fermé contenant <math>X</math>, à savoir l'espace <math>E</math> lui-même; d'autre part, l'intersection de tous les fermés contenant <math>X</math> est un fermé contenant <math>X</math>, et est le plus petit ayant cette propriété.

L'adhérence de <math>X</math> est aussi appelée fermeture de <math>X</math> et se note souvent <math>\overline{X}</math>.

On dit d'un point <math>x</math> de <math>E</math> qu'il est adhérent à <math>X</math> lorsque tout voisinage de <math>x</math> rencontre <math>X</math>.

L'adhérence de <math>X</math> est égale à l'ensemble des points qui lui sont adhérents.

En effet :

Si le point <math>x</math> de <math>E</math> est adhérent à <math>X</math>, il ne peut appartenir à l'ouvert <math>E-\overline{X}</math>, car celui-ci serait alors un voisinage de <math>x</math> ne rencontrant pas <math>X</math>; donc il appartient à <math>\overline{X}</math>.
Si le point <math>x</math> de <math>E</math> n'est pas adhérent à <math>X</math>, il existe un voisinage de <math>x</math> qui ne rencontre pas <math>X</math>; ce voisinage contient un ouvert <math>U</math> qui contient <math>x</math> et ne rencontre pas <math>X</math>. Il s'ensuit que le complémentaire de <math>U</math> dans <math>E</math> est un fermé qui contient <math>X</math>, et donc qui contient <math>\overline{X}</math>. Puisque <math>x</math> est dans <math>U</math>, <math>x</math> n'est pas dans <math>\overline{X}</math>.

Intuitivement, l'adhérence d'une partie <math>X</math> contient tous les points de l'espace qui sont dans <math>X</math> ou qui sont trop près de <math>X</math> pour que l'on puisse y « bricoler » localement sans toucher à <math>X</math>.

Dans un espace métrique (la topologie est issue d'une distance sur l'espace considéré), l'adhérence d'un ensemble <math>X</math> est l'ensemble contenant toutes les limites de suites formée des éléments de <math>X</math>.

[modifier] Exemples

L'ensemble des réels <math>\mathbb R</math> est l'adhérence de l'ensemble des rationnels <math>\mathbb Q</math>. En effet, tout ouvert contenant un irrationnel contient un rationnel. Tout irrationnel est donc dans l'adhérence de <math>\mathbb Q</math>.

L'adhérence d'un intervalle de <math>\mathbb R</math>, c'est l'intervalle fermé de mêmes bornes.

[modifier] Densité

On dit qu'une partie <math>X</math> d'un espace topologique <math>E</math> est dense lorsque son adhérence est l'espace <math>E</math> tout entier. Une telle partie se caractérise donc par le fait que tout ouvert non vide en contient un point.

Un point <math>x</math> de <math>X</math> est dense si <math>\{</math><math>x</math><math>\}</math> est dense. On l'appelle parfois aussi point générique.

Intuitivement, les parties denses d'un espace sont donc des parties qui sont très grosses: on ne peut pas les éviter.

[modifier] Pièges

[modifier] Boules ouvertes et boules fermées

Celui qui n'est jamais tombé dans celui-ci, n'a jamais fait de topologie! Dans un espace métrique, on définit des boules ouvertes et des boules fermées, et la tentation est grande d'utiliser <math>B_f=\overline B</math> dans ce cadre. Il est vrai que dans un certain nombre de cas, cela marche bien, notamment les <math>\mathbb R^n</math> avec la distance usuelle, et plus généralement pour la distance <math>\Vert x-y\Vert\,</math> dans un espace vectoriel normé...

Néanmoins, c'est faux en général; voyons l'exemple le plus simple: soit un ensemble <math>E</math>, avec au moins deux éléments. On définit une métrique dessus ainsi: la distance entre deux points distincts est <math>1</math>. La boule ouverte de rayon <math>1</math> centrée en un point est donc ce point. La boule fermée de rayon <math>1</math> centrée en un point est donc l'espace entier. L'adhérence de la boule ouverte de rayon <math>1</math> centrée en un point est le point!

[modifier] Un point c'est petit

Un point, ça n'a l'air de rien, et pourtant, dans certains espaces, certains points peuvent prendre une grande place!

Considérons l'ensemble des nombres premiers, auxquels on rajoute <math>0</math>. On définit une topologie (via des fermés) de la façon suivante:

un ensemble fini de nombre premiers est fermé;
l'espace entier est fermé;

dans ce cas, l'adhérence de <math>0</math> est l'espace tout entier, ce qui signifie qu'on ne peut pas le mettre de côté pour travailler au voisinage d'un autre point. C'est un point dense/générique. (NB: en géométrie algébrique, ce genre de situation est très courant, car l'espace de base, le spectre d'anneau, vérifie souvent ce genre de propriétés; en fait, cet exemple est <math>Spec\,\mathbb Z</math>)