Équations de Maxwell

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Les équations de Maxwell, encore appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force électromagnétique de Lorentz.

Les équations de Maxwell traduisent sous forme locale les différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday), qui régissaient l'électromagnétisme avant que, Maxwell ne les réunissent sous forme de relations intégrales. Elles donnent ainsi un cadre mathématique précis au concept fondamental de champ introduit en physique par Faraday dans les années 1830.

Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les champs électriques et magnétiques sont indépendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en régime variable. Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la dichotomie électrique/magnétique étant relative. Cet aspect trouve sa formulation définitive dans le formalisme covariant présenté dans la seconde partie de cet article : le champ électromagnétique y est représenté par un être mathématique unique de type tenseur, le « tenseur de Maxwell », dont certaines composantes s'identifient à celles du champ électrique et, d'autres composantes à celles du champ magnétique.

[modifier] Aspects historique

[modifier] L'apport de Maxwell

Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse harmonieuse des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique, du magnétisme, de l'induction...), en les exprimant sous la forme d'un système de quatre équations aux dérivées partielles couplées. Elles furent publiées dans leur forme définitive en 1873 dans l'ouvrage Electricity and Magnetism.

Mais cette synthèse n'a été possible que parce que Maxwell a su dépasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une équation un « chaînon manquant », appelé le courant de déplacement, dont la présence assure la cohérence de l'édifice unifié.

[modifier] Les héritiers de Maxwell

La synthèse de Maxwell a permis ultérieurement les deux plus grandes avancées de la science moderne :

• la théorie de la relativité restreinte (via le problème du référentiel de l'hypothétique « éther » ). En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant...) va avoir des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière qui a été mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondements de la théorie de la relativité. En fait, on remarque que si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation, la transformation de Lorentz. Einstein a essayé d'appliquer les transformations de Lorentz à la mécanique classique, et cela l'a conduit à la théorie de la relativité restreinte.

• la physique quantique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photo-électrique donna naissance à la théorie quantique en 1900.

[modifier] Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide

On présente ci-dessous la théorie microscopique fondamentale qui donne les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide en présence de sources, qui peuvent être des charges ponctuelles et/ou leurs courants électriques microscopiques associés si ces charges sont en mouvement dans le référentiel d'étude.

La théorie macroscopique nécessitant l'introduction des champs D et H (et les équations de Maxwell associées) sont discutés en détails dans l'article : Électrodynamique des milieux continus.

[modifier] Notations

On note :

• <math>\rho(\vec{r},t)</math> est la densité de charge électrique locale au point <math>\vec{r}</math> à l'instant <math>t</math>.
• <math>\vec{j}(\vec{r},t)</math> le vecteur densité de courant.
• <math>\vec{E}(\vec{r},t)</math> le vecteur champ électrique.
• <math>\vec{B}(\vec{r},t)</math> le vecteur champ magnétique.
• <math>\epsilon_0\,</math> la permittivité diélectrique du vide.
• <math>\mu_0\,</math> la perméabilité magnétique du vide.

[modifier] Equation de Maxwell-Gauss

Cette équation locale donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique. Elle s'écrit :

Cette équation correspond à un « terme de source » : la densité de charge électrique est une source du champ électrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle <math>q\,</math> fixée à l'origine <math>O\,</math>, la loi de Coulomb donnant le champ électrostatique en un point <math>M\,</math> de l'espace, point repéré par le vecteur position <math>\vec{OM} = \vec{r} = r \ \vec{u}_r</math> où <math>\vec{u}_r\,</math> est le vecteur unitaire radial, s'écrit :

Ce champ électrostatique vérifie l'équation de Maxwell-Gauss pour la source statique :

où <math>\delta^3(\vec{r})\,</math> est la distribution de Dirac dans l'espace à trois dimensions.

L'équation de Maxwell-Gauss est héritée du théorème de Gauss, qui permet de lier le flux du champ électrique à travers une surface fermée, à la charge intérieure à cette surface :

où <math>\Sigma\,</math> est une surface fermée arbitraire, appelée surface de Gauss, et <math>Q_{int}\,</math> la charge électrique totale intérieure à cette surface <math>\Sigma\,</math> <ref>Remarque : pour calculer explicitement le champ électrique, le théorème de Gauss n'est utilisable que dans des cas simples, possédants une « haute » symétrie : symétries sphérique, cylindrique, plane. Il est alors possible de calculer explicitement le flux du champ à travers une surface de Gauss <math>\Sigma</math> possédant la même symétrie.</ref>.

[modifier] Equation de Maxwell de conservation du flux

Le flux du champ magnétique à travers une surface <math>\Sigma\,</math> fermée est toujours identiquement nul :

[modifier] L'équation locale de Maxwell

Cette équation locale est au champ magnétique ce que l'équation de Maxwell-Gauss est au champ électrique, à savoir une équation avec « terme de source », ici identiquement nul :

Elle traduit le fait expérimental suivant : il n'existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle magnétique serait une source ponctuelle de champ magnétique, analogue de la charge électrique ponctuelle pour le champ électrique. Or, l'objet de base source d'un champ magnétique est l'aimant, qui se comporte comme un dipôle magnétique : un aimant possède en effet un pôle nord et un pôle sud. L'expérience fondamentale consistant à tenter de couper un aimant en deux donne naissance à deux aimants, et non un pôle nord et un pôle sud séparément<ref>Il faut noter que certaines théories quantiques modernes de l'unification des interactions fondamentales prédisent l'existence de monopôles magnétiques, mais ces objets n'ont à ce jour jamais été observés. Par ailleurs, Dirac a montré en 1930 comment l'existence d'un monopôle magnétique pourrait expliquer de façon élégante la quantification de la charge électrique observée expérimentalement. Pour une revue de l'« état de l'art » actuel, lire e.g. : Kimball A Milton ; Theoretical and experimental status of magnetic monopoles, Report on Progress in Physics 69 (2006), 1637-1711.</ref>.

[modifier] Introduction du potentiel-vecteur

L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

Réciproquement, toute fonction dont la divergence est identiquement nulle peut être exprimée sous la forme d'un rotationnel.

L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement<ref>Localement signifie ici : dans un voisinage de chaque point <math>M\,</math> de l'espace physique. Le problème de savoir si on peut définir globalement un potentiel-vecteur sur un espace donné conduit à devoir se poser des questions sur la cohomologie de cet espace, un concept issu de la géométrie différentielle.</ref> un potentiel-vecteur <math>\overrightarrow{A}\,</math> tel que :

Le problème important de l'unicité du potentiel-vecteur est discuté plus loin au paragraphe : Invariance de jauge de la théorie.

[modifier] Equation de Maxwell-Faraday

Cette équation locale traduit le phénomène fondamental d'induction électromagnétique découvert par Faraday.

[modifier] L'équation locale

Elle donne le rotationnel du champ électrique en fonction de la dérivée temporelle du champ magnétique :

Cela correspond à un « terme variationnel » : la variation du champ magnétique crée un champ électrique. Sa forme intégrale est la loi de Faraday :

où <math>e\,</math> est la force électromotrice d'induction dans un circuit électrique et <math>\Phi\,</math> le flux magnétique à travers ce circuit.

[modifier] Introduction du potentiel électrique

L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul :

L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur <math>\vec{A}\,</math> permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique <math>V\,</math> (scalaire) tel que :

Le problème important de l'unicité du potentiel électrique est discuté plus loin au paragraphe : Invariance de jauge de la théorie.

[modifier] Equation de Maxwell-Ampère

Cette équation est héritée du théorème d'Ampère. Sous forme locale, elle s'écrit en termes du vecteur densité de courant <math>\overrightarrow{j}\, </math> :

Cette équation peut se réécrire :

en introduisant le courant de déplacement de Maxwell :

La forme intégrale lie la circulation du champ magnétique sur un contour <math>C</math> fermé, et les courants qui traversent la surface s'appuyant sur ce contour :

[modifier] Équation de conservation de la charge

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère :

On peut écrire en permutant les dérivées spatiales et temporelles, puis en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss :

On obtient finalement l'équation locale de conservation de la charge électrique :

Le lecteur aura noté la présence essentielle du terme de courant de déplacement introduit par Maxwell pour l'obtention de cette équation.

[modifier] Invariance de jauge de la théorie

Cet article n'est pas fini. Son état est provisoire et sera modifié. Une version améliorée est en préparation. Veuillez prendre son état actuel avec prudence : Le plan et le contenu peuvent être incomplets, ou en révision. Pour participer à cette amélioration, il vous est recommandé de consulter la page de discussion au préalable.

L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement <ref>Localement signifie : dans le voisinage de chaque point <math>M\,</math> de l'espace physique. Le problème de savoir si on peut définir globalement un potentiel-vecteur sur un espace donné conduit à devoir se poser des questions sur la cohomologie de cet espace, un concept issu de la géométrie différentielle.</ref> un potentiel-vecteur <math>\overrightarrow{A}\,</math> tel que :

L'analyse vectorielle nous dit également que

Alors le potentiel-vecteur n'est pas défini de manière unique puisque la transformation suivante, avec <math>f\,</math> une fonction quelconque

ne modifie par la valeur du champ <math>\overrightarrow{B}\,</math>. Ceci est un exemple de transformation de jauge. Il faut donc imposer des conditions supplémentaire pour déterminer <math>\overrightarrow{A}\,</math> de façon non-ambigüe. On appelle cela des conditions de jauge, par exemple la jauge de Coulomb ou encore la jauge de Lorenz.

Le lecteur notera qu'en physique classique, le potentiel-vecteur est un outil mathématique commode pour analyser les solutions des équations de Maxwell, mais ce n'est pas une grandeur physique directement mesurable. Il en va tout autrement en physique quantique : Aharonov et Bohm ont en effet démontré<ref>Y. Aharonov & D. Bohm ; Significance of electromagnetic potentials in quantum theory, Physical Review 115 (1959), 485–491.</ref> en 1959 que le potentiel-vecteur pouvait avoir un effet observable en mécanique quantique : c'est l'effet Bohm-Aharonov.

L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul :

L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur <math>\vec{A}\,</math> permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique <math>V\,</math> (scalaire) tel que :

Le potentiel <math>V\,</math> lui non plus n'est pas défini de façon unique mais la transformation de jauge associée est liée à celle de <math>\overrightarrow{A}\,</math> est la suivante (on rappelle celle de <math>\overrightarrow{A}\,</math> par souci de clarté) et on a

Ces deux équations donnent l'invariance de jauge complète des équations de Maxwell.

[modifier] Formulation covariante

[modifier] Géométrie de l'espace-temps de Minkowski

L'espace-temps de Minkowski (1908) est une variété différentielle M plate munie d'une métrique lorentzienne.

Soit un système de coordonnées quelconque <math>x^{\mu}</math> autour d'un évènement (point) <math>P</math> de l'espace-temps, et soient <math>{\mathbf e}_{\mu}(x)</math> une base locale de <math>T_xM</math>, espace tangent à la variété au point <math>x \in M</math>. Un vecteur tangent <math>\mathbf w \in T_xM</math> s'écrit alors comme la combinaison linéaire :

Les <math>w^{\mu}</math> sont appelée les composantes contravariantes du vecteur w. Le tenseur métrique <math>\mathbf \eta</math> est la forme bilinéaire symétrique<ref>Dans cette formule, <math>dx^{\mu}</math> désigne la base duale de <math>{\mathbf e}_{\mu}(x)</math> dans l'espace cotangent <math>T_x^*M</math>, c'est-à-dire la forme linéaire sur <math>T_xM</math> telle que :

Dans une base orthonormée d'un référentiel inertiel, ses composantes covariantes <math>\eta_{\mu \nu}</math> sont :

Ses composantes contravariantes <math>\eta^{\mu \nu}</math> vérifient :

On obtient explicitement :

On utilisera ci-dessous les conventions usuelles suivantes :

• un indice grec varie de 0 à 3. Il est associé à une grandeur dans l'espace-temps.
• un indice latin varie de 1 à 3. Il est associé aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps.

Par exemple, les composantes contravariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :

Le tenseur métrique définit pour chaque point <math>x \in M</math> de l'espace-temps un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) dans l'espace <math>T_xM</math> euclidien tangent à M au point <math>x</math>. Si <math>\mathbf u</math> et <math>\mathbf v</math> sont deux vecteurs de <math>T_xM</math>, leur produit scalaire s'écrit :

En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :

<math>w^{\mu}</math> désignant les composantes contravariantes du vecteur w, on peut définir de même ses composantes covariantes par :

Par exemple, les composantes covariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :

[modifier] Quadri-gradient

On introduit l'opérateur différentiel quadri-gradient par ses composantes covariantes :

Ses composantes contravariantes s'écrivent :

L'opérateur invariant d'Alembertien s'écrit par exemple :

[modifier] Quadri-potentiel

On introduit le quadri-potentiel électromagnétique par ses composantes contravariantes :

où <math>V</math> est le scalaire potentiel électrique, et <math>\vec{A}</math> le potentiel-vecteur magnétique. Ses composantes covariantes s'écrivent :

Les lois de transformation de jauge écrite précédemment sont donc résumées dans cette notation sous la forme

La condition de jauge de Lorenz s'écrit par exemple de façon covariante :

[modifier] Quadri-courant

On introduit le quadri-courant électromagnétique par ses composantes contravariantes :

où <math>\rho</math> est le scalaire densité électrique de charge, et <math>\vec{j}</math> le vecteur densité de courant. Ses composantes covariantes s'écrivent :

[modifier] Tenseur de Maxwell

Le tenseur de Maxwell est le tenseur anti-symétrique de rang deux défini à partir du quadri-potentiel par  :

Ses composantes covariantes s'écrivent explicitement :

 F_{\alpha\beta} 

       0 & - \ \frac{E_x}{c} & - \ \frac{E_y}{c} & - \ \frac{E_z}{c} \\
       \frac{E_x}{c} &  0   & B_z & - \ B_y \\
       \frac{E_y}{c} & - \ B_z &  0   & B_x \\
       \frac{E_z}{c} & B_y &  - \ B_x & 0    \\
     \end{pmatrix}

On obtient ses composantes contravariantes en écrivant :

 F^{\alpha\beta} 

La métrique étant diagonale dans un référentiel inertiel, on obtient alors les formules suivantes, sans sommation sur les indices répétés  :

• <math>F^{00} \ = \ \eta^{00} \ \eta^{00} \ F_{00} \ = \ + \ F_{00} \ = \ 0 </math>
• <math>F^{0i} \ = \ \eta^{00} \ \eta^{ii} \ F_{0i} \ = \ - \ F_{0i} </math>
• <math>F^{ij} \ = \ \eta^{ii} \ \eta^{jj} \ F_{ij} \ = \ + \ F_{ij} </math>

soit explicitement :

 F^{\alpha\beta} 

       0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\
     - \  \frac{E_x}{c} &  0   & B_z &  - \ B_y \\
     - \  \frac{E_y}{c} &  - \ B_z &  0   & B_x \\
     - \  \frac{E_z}{c} & B_y &  - \ B_x & 0    \\
     \end{pmatrix}

[modifier] Equations de Maxwell sous forme covariante

Les équations de Maxwell se mettent sous forme relativiste covariante.

• Les deux équations de Maxwell sans termes de sources s'écrivent :

• Les deux équations de Maxwell avec termes de sources s'écrivent :

Puisque le tenseur de Maxwell est anti-symétrique, cette dernière relation entraine en particulier que le quadri-courant est conservé :

[modifier] Équation de propagation pour le quadri-potentiel en jauge de Lorenz

En écrivant explicitement le tenseur de Maxwell en termes du quadri-potentiel dans l'équation covariante avec terme de sources, on obtient pour le membre de gauche :

Dans la jauge de Lorenz <math>\partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0</math>, le second terme disparait, et l'équation de Maxwell avec terme de sources se réduit à une équation de propagation pour le quadri-potentiel :

La solution de cette équation s'écrit de façon simple si l'on connait une fonction de Green de l'équation de propagation, c'est-à-dire une fonction G(x) solution<ref>Il existe potentiellement plusieurs fonctions de Green pour cette équation, différentes l'une de l'autre par les conditions aux limites choisies. En électrodynamique classique, on utilise le plus souvent la fonction de Green retardée.</ref> de l'équation aux dérivées partielles :

où <math>\delta(x)</math> est la distribution de Dirac. On obtient alors le quadri-potentiel sous la forme d'un produit de convolution :

[modifier] Exemple : les potentiels retardés

En électrodynamique classique, on utilise le plus souvent la fonction de Green retardée qui satisfait à l'hypothèse de causalité :

Cette fonction de Green s'écrit :

Cet article n'est pas fini. Son état est provisoire et sera modifié. Une version améliorée est en préparation. Veuillez prendre son état actuel avec prudence : Le plan et le contenu peuvent être incomplets, ou en révision. Pour participer à cette amélioration, il vous est recommandé de consulter la page de discussion au préalable.

[modifier] Équations de Maxwell-Lorentz dans les milieux matériels

[modifier] Liens internes

• Vecteur de Poynting
• Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell
• Électrodynamique des milieux continus
• Invariance de Lorentz

[modifier] Bibliothèque virtuelle

• Ruth Durrer ; Electrodynamique II (PostScript) : cours approfondi donné par l'auteur (Département de Physique Théorique, Université de Genève, Suisse) aux étudiants de deuxième année de premier cycle (123 pages).

• Jean-Michel Raimond ; Electromagnétisme & relativité restreinte (pdf) : cours approfondi (mécanique analytique, relativité & électromagnétisme) donné par l'auteur (laboratoire Kastler-Brossel, ENS Ulm, Paris) aux étudiants de première année du Magistère Interuniversitaire de Physique.

[modifier] Bibliograph

[modifier] Cours

[modifier] Ouvrages d'introduction

Accessible au niveau du premier cycle universitaire.

• Richard P. Feynman ; Le cours de physique de Feynman, InterEditions (1979). Le grand théoricien de l'électrodynamique quantique, prix Nobel 1965, nous donne ici un superbe cours d'introduction à l'électromagnétisme classique. Publié en deux volumes :
  • Electromagnétisme I, ISBN 2-7296-0028-0. Réédité par Dunod, ISBN 2-10-004861-9.
  • Electromagnétisme II, ISBN 2-7296-0029-9. Réédité par Dunod, ISBN 2-10-004316-1.

[modifier] Ouvrages de références

• John D. Jackson ; Électrodynamique classique - Cours et exercices d'électromagnétisme, Dunod (2001), ISBN 2-10-004411-7. Traduction française de la 3ème édition du grand classique américain.

• Lev Landau & Evguéni Lifchitz ; Cours de physique théorique - Tome 2 : Théorie des champs, Mir (4ème édition-1989), ISBN 5-03-000641-9.

• Wolfgang K. H. Panofsky et Melba Phillips ; Classical electricity and magnetism, Addison-Wesley (2ème édition-1962). Réédité par : Dover Publications, Inc. (2005), ISBN 0486439240. L'ouvrage de référence en électrodynamique classique avant la parution du Jackson

[modifier] Aspects historiques

• James Clerk Maxwell ; Traité d'Electricité et de Magnétisme, Gauthier-Villars, tome I (1885) et tome II (1887). Réédité par Jacques Gabay (1989), ISBN 2-87647-045-4.

• Hendrik-Antoon Lorentz ; The Theory of Electrons and its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat - A Course of Lectures delivered in Columbia University, in March and April 1906, B.G. Teubner (Leipzig - 2ème édition : 1916). Réédité par Jacques Gabay (1992), ISBN 2-87647-130-2.

• Olivier Darrigol ; Les équations de Maxwell - de MacCullagh à Lorentz, Belin (2005), ISBN 2-7011-3073-5. Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS. Les équations de Maxwell, véritable monument scientifique, fournissent une description précise de l’ensemble des phénomènes électromagnétiques. Bien que James Clerk Maxwell ait joué le rôle le plus éminent dans leur introduction, elles sont apparues dans des contextes divers sous la plume de plusieurs auteurs (MacCullagh, Maxwell et Lorenz) et n’ont acquis leur interprétation moderne que grâce aux efforts d’héritiers de Maxwell (Heaviside, Hertz et Lorentz). C’est ce que montre l’auteur, à travers l’étude détaillée de textes fondateurs écrits dans les deux derniers tiers du XIX^e siècle.

• Edmund T. Whittaker (Sir) ; A History of the Theories of Aether and Electricity, Springer Verlag/A.I.P. Press (1986) ISBN 0-88318-523-7, réédité par Dover (1990) ISBN : 0-48626-126-3. Le premier volume (Part I : the classical theories, from the age of Descartes to the close of the nineteenth century) de cette histoire érudite a été publié à Dublin en 1910. Le second volume complémentaire (Part II : the modern theories 1900-1926) est quant à lui paru en 1953. Ce livre essentiel est malheureusement aujourd'hui épuisé. Whittaker, mathématicien appliqué, est également co-auteur(avec G.N. Watson) du très célèbre et indémodable cours d'analyse : A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press) paru initialement en 1902.

• Olivier Darrigol ; Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford University Press (2000) ISBN 0-19-850593-0. Volta invente la pile électrique en 1800. Cette découverte capitale va initier un nouveau champ de recherche : l'électrodynamique, initialement science des courants circulants dans les fils, par opposition aux phénomènes électrostatique des charges fixes connus depuis l'Antiquité. La première loi fondamentale de cette électrodynamique est établie par Ampère en 1820 : il s'agit de la loi de force qui s'exerce entre deux fils parcourus chacun par un courant. Cette histoire de l'électrodynamique détaille le chemin parcouru entre cette loi d'Ampère de 1820 et le triomphe de la théorie des champs de Maxwell-Lorentz-Faraday avec son interprétation par Einstein en 1905 dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte. Historien des sciences, Olivier Darrigol est chercheur au CNRS.

• John D. Jackson & L.B. Okun ; Historical roots of gauge invariance, Review of Modern Physics 73 (2001) 663-680. Texte complet disponible sur l'ArXiv : hep-ph/0012061.

[modifier] Notes et références

<references/>

bg:Уравнения на Максуел bn:ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণসমূহ ca:Equacions de Maxwell cs:Maxwellovy rovnice da:Maxwells ligninger de:Maxwellsche Gleichungen en:Maxwell's equations eo:Ekvacioj de Maxwell es:Ecuaciones de Maxwell fa:معادله‌های ماکسول fi:Maxwellin yhtälöt gl:Ecuacións de Maxwell he:משוואות מקסוול hu:Maxwell-egyenletek it:Equazioni di Maxwell ja:マクスウェルの方程式 ko:맥스웰 방정식 la:Aequationes Maxwellianae lt:Maksvelio lygtys nl:Wetten van Maxwell nn:Maxwells likningar no:Maxwells likninger pl:Równania Maxwella pt:Equações de Maxwell ru:Уравнения Максвелла simple:Maxwell's equations sl:Maxwellove enačbe sv:Maxwells elektromagnetiska ekvationer th:สมการของแมกซ์เวลล์ tr:Maxwell denklemleri vi:Phương trình Maxwell zh:麦克斯韦方程组