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L'équation d'Euler s'applique dans le cas d'un fluide parfait, c'est à dire un fluide incompressible non visqueux. Cette équation, complétée par d'autres équations tirées de la dynamique des fluides parfaits, permet de caractériser un mouvement du fluide en calculant par exemple la pression motrice du fluide.

Une intégration le long d'une ligne de courant de cette équation permet d'obtenir l'équation de Bernoulli.

L'équation d'Euler dérive de la relation fondamentale de la dynamique, appliquée à une particule fluide : <math>\sum_{} \vec F=m\vec \gamma</math>

Faisons le bilan des forces appliquées à un élément de volume :

• Les forces de volume <math>\vec F=\begin{Bmatrix} Fx \\ Fy \\ Fz \end{Bmatrix}</math>, proportionnelles à l'élement de volume considéré.
• Les forces de pression, proportionnelles à l'élement de surface considéré.
• Les forces d'inertie, proportionnelles à l'accélération <math>\vec \gamma=\begin{Bmatrix} \gamma x \\ \gamma y \\ \gamma z \end{Bmatrix}</math> et au volume du fluide.

On obtient donc :

<math>\vec F - \vec {grad} (P)=\rho \vec \gamma </math>

C'est la forme condensée de l'équation d'Euler.

En développant, on a :

<math>\rho \vec \gamma = \begin{Bmatrix} \rho \gamma x \\ \rho \gamma y \\ \rho \gamma z \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} Fx -\frac{\partial P}{\partial x} \\ Fy -\frac{\partial P}{\partial y} \\ Fz -\frac{\partial P}{\partial z} \end{Bmatrix}</math>

Une autre forme de l'équation d'Euler (les équations, dans ce cas) s'écrit :

<math>\vec \gamma = \begin{Bmatrix} \gamma x \\ \gamma y \\ \gamma z \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \frac{\ d{Vx}}{dt} \\ \frac{\ d{Vy}}{dt} \\ \frac{\ d{Vz}}{dt} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \frac{\partial Vx}{\partial t} + vx \frac{\partial vx}{\partial x} + vy \frac{\partial vx}{\partial y} + vz \frac{\partial vx}{\partial z} \\ \frac{\partial Vy}{\partial t} + vx \frac{\partial vy}{\partial x} + vy \frac{\partial vy}{\partial y} + vz \frac{\partial vy}{\partial z} \\ \frac{\partial Vz}{\partial t} + vx \frac{\partial vz}{\partial x} + vy \frac{\partial vz}{\partial y} + vz \frac{\partial vz}{\partial z} \end{Bmatrix} </math>bg:Уравнения на Ойлер de:Euler-Gleichungen en:Euler equations es:Ecuaciones de Euler (fluidos) it:Equazioni di Eulero ja:オイラー方程式 (流体力学)