Électrostatique

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L'électrostatique est la branche de la physique qui traite des charges électriques immobiles et des forces produites par leurs interactions.

Les charges étant immobiles, il n'y a aucun courant et aucun champ magnétique.

Il est difficile de faire des sciences physiques sans connaître et utiliser l'outil mathématiques des formules Électrostatique magnétostatique (formulaire). On parle alors de formalisme scientifique

Sommaire

1 Généralités
2 Formules de base de l'électrostatique
3 distribution ayant des symétries et des invariances
4 Voir aussi
5 Bibliographie
- 5.1 Ouvrages d'introduction
- 5.2 Ouvrages de références

[modifier] Généralités

Il existe une expérience simple permettant de percevoir une force électrostatique ; c'est une expérience que tout le monde peut faire, il suffit de frotter une règle en plastique avec un chiffon et de l'approcher de petits bouts de papier. Les papiers se collent à la règle. L'expérience est simple à réaliser, cependant l'interprétation n'est pas simple puisque, si la règle est chargée par frottements, les bouts de papiers ne le sont à priori pas! Autre expérience du même style: un filet d'eau est dévié si on approche du film cellophane.

Plus simplement, tout le monde a reçu une décharge en attrapant un chariot par temps très sec ou en descendant ou en montant dans une voiture. Ce sont des phénomènes où il s'est produit une accumulation de charges, d'électricité, d'électricité statique .

À partir de là, on peut considérer deux catégories de corps, ceux où l'état d'électrisation (principe énoncé juste au-dessus) se conserve localement sont dits isolants et ceux où cet état se répartit sur la surface du conducteur sont dits conducteurs.

[modifier] Formules de base de l'électrostatique

L'équation fondamentale de l'électrostatique est la loi de Coulomb, qui décrit la force d'interaction entre deux charges ponctuelles :

Force de 1 sur 2 = - Force de 2 sur 1

<center> <math>\overrightarrow{F_1}(2) = q_2 \frac{q_1 \vec{e_r} } {4 \pi \epsilon_0 r_{12}^2} = q_2 \frac{q_1 \vec{r_{12}}}{4 \pi \epsilon_0 r_{12}^3} = - q_1 \frac{q_2 \vec{r_{21}}}{4 \pi \epsilon_0 r_{21}^3} = -\overrightarrow{F_2}(1)</math>

</center>

Noter que deux charges de même signe se repoussent et que deux charges de signes contraires s'attirent proportionnellement au produit de leurs charges et inversement proportionnel au carré de leurs distances ; noter aussi que les forces sont égales et opposées principe de l'action et de la réaction

Comme en gravitation l'action à distance se fait par l'intermédiaire d'un champ : le champ électrique :

Produit par 1 en 2 : <math>\overrightarrow{E_1}(2)= \frac{q_1\vec{r_{12} }}{4 \pi \epsilon_0 r_{12}^3} </math> produit par 2 en 1 : <math>\overrightarrow{E_2}(1)= \frac{q_2\vec{r_{21} }}{4 \pi \epsilon_0 r_{21}^3} </math>

Le champ créé en M par n charges qi situées en des points Pi est additif (principe de superposition) que la distribution de charges soit discrète:

<math>

\overrightarrow{E_T} = \overrightarrow{E_1} + \overrightarrow{E_2} + \overrightarrow{E_3} + ...=\overrightarrow{E_T}(M)= \sum_{i=1}^n {1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_i }\cdot{\overrightarrow{P_iM}\over |\overrightarrow{P_iM}|^3} </math> ou qu'elle soit une distribution de charges continue dans l'espace, le champ vaut alors :

<math>

d\vec{E}(x_m,y_m,z_m) = \frac{\rho(x_i,y_i,z_i)dx_idy_idz_i}{4 \pi \epsilon_o} \cdot\frac{\vec{r}_{im}}{r_{im}^3} </math> et en sommant sur tout l'espace où il y a des charges, on obtient:

<math>

\vec{E}(x_m,y_m,z_m) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int(\frac{\rho(x_i,y_i,z_i)dx_idy_idz_i }{r_{im}^3}\vec{r}_{im}) </math> où ρ est la densité volumique de charge en Pi, <math>\vec{r}_{im}</math> est le vecteur allant de Pi au point M. Autour du point Pi il y a une charge <math>\rho(x_i,y_i,z_i)dx_idy_idz_i</math>. Les intégrales indiquent qu'il faut additionner d'après le principe de superposition sur tous les volumes contenant des charges.

Le Potentiel électrique (aussi appelé tension) est une notion courante et importante de l'électrostatique : c'est la fonction scalaire de l'espace telle que le champ électrique est le gradient.

<math>

V(x_m,y_m,z_m) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int(\frac{\rho(x_i,y_i,z_i)dx_idy_idz_i }{|r_{im}|}) </math>

V(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{\rho(x_i,y_i,z_i)dx_idy_idz_i }{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}} </math> et en calculant les dérivées partielles <math>\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z} </math>

<math>

\vec{E}(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o}\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int\frac{\rho(x_i,y_i,z_i)dx_idy_idz_i ( (x-x_i)\vec{e_x}+(y-y_i)\vec{e_y}+(z-z_i)\vec{e_z})} {[(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2]^{\frac{3}{2} }}

</math>

</center>

Toute l'électrostatique est dans ces dernières formules quoiqu'il faille remarquer que ces formules ne sont pas définies si le point de coordonnée x,y,z est en un point chargé.

[modifier] Potentiel en 1/r et champ à divergence nulle

On place ce qui produit le potentiel en O et on regarde en M <math> \overrightarrow{OM}= \vec {r}= r \vec {e_r} </math> le potentiel produit et son gradient;rappelons que: <math>dV=\overrightarrow{grad}(V)\cdot d \overrightarrow{OM}= - \overrightarrow{E}(M)\cdot d \overrightarrow{OM} </math>

sachant que l'on peut démontrer mathématiquement que <math>\frac{\vec{r}}{r^3}=-\overrightarrow{grad}(\frac{1}{r}) </math> 1, on en déduit en multipliant par<math> \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 } </math> que: <math>\vec{E}(x,y,z)=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 }\cdot \frac{\vec{r}}{r^3}= -\overrightarrow{grad}( \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r})= -\overrightarrow{grad}( V(r)) </math>

Soit: <math>\vec{E}(x,y,z)=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 }\cdot \frac{\vec{r}}{r^3}=-\overrightarrow{grad}( V(r)) </math> avec <math> V(r)= \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r}</math>

les champs en <math>\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}</math> sont tels que leur divergence est nulle. <math> div (\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}) = 0 </math> 2

[modifier] théorème de Gauss

Le Théorème de flux-divergence est un théorème d'analyse vectorielle utilisable en électrostatique pour obtenir une équation locale du champ électrique.

Ce théorème indique que : si V représente le volume, et S le bord de V.

</center>

si on considère une sphère chargée en volume ayant son centre en O et de rayon R.

Et si on prend donc comme surface S, la surface d'une sphère de rayon r constant <math>dS\frac{\vec{r}}{r} </math>,est le vecteur normal à la surface , dirigé vers l'extérieur, et de longueur égale à l'élément de surface dS qu'il représente,

Ce qui signifie que le résultat ne dépend pas de r! et si on multiplie par <math> \frac{qi}{4 \pi \epsilon_0 } </math> on obtient:

<math>\frac{qi}{4 \pi \epsilon_0 }\int\!\!\!\int_{S} \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot d \vec S =\int\!\!\!\int_{S} \frac{qi}{4 \pi \epsilon_0 }\frac{\vec{r}}{r^3} \cdot d \vec S = \int\!\!\!\int_{S} \vec{E} \cdot d \vec S = \frac{qi}{4 \pi \epsilon_0 }4\pi = \frac{qi}{ \epsilon_0 } </math> Soit <math> \int\!\!\!\int_{S} \vec{E} \cdot d \vec S = \frac{qi}{ \epsilon_0 } </math>

et en combinant

<center> <math> \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{V} div \vec E \ dv = \int\!\!\!\int_{S} \vec E \cdot d \vec S = \frac{qi}{ \epsilon_0 }=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{V} \frac{\rho_i}{ \epsilon_0 } dv </math>

</center>

Expression connue par les physiciens sous le nom de théorème de Gauss. Elle n'a été là démontrée que pour une seule charge, le principe de superposition fait qu'elle reste valable pour n'importe quelle distribution de charge.

Si on prend un volume très petit on obtient :

<center> <math> div \vec E \ dv = \frac{\rho_i}{ \epsilon_0 } dv </math>

</center>

qui est l'expression locale du théorème de Gauss.

[modifier] L'équation de Poisson

<math>\Delta=\nabla^2</math>

<math>=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}</math>
Article d' Analyse vectorielle

Équation aux dérivées partielles

Opérateurs

en théorie physique

groupe

physique mathématique

Modèle standard (physique)

donne une relation locale entre la distribution de charge et le potentiel :

<math> div (\vec E )= (\vec {\nabla})\cdot (\vec {\nabla}) V = {\vec {\nabla}}^2 V = \Delta V =- {\rho \over \epsilon_0}</math>

</center> On constate aussi que les influences des différentes charges s'ajoutent linéairement. Cela signifie que pour connaître la force exercée sur une charge par plusieurs autres charges, il suffit de calculer la force qu'exercerait chacune des charges prise isolément, et d'additionner les résultats :

C'est ce que l'on appelle le principe de superposition qui traduit la linéarité de la loi de coulomb.

La loi de Coulomb est très proche de l'expression des forces gravitationnelles ; mais ces dernières sont (pour une particule donnée) beaucoup plus faibles. Pourtant, les forces électrostatiques ont peu d'effet à grande échelle, tandis que la gravitation explique le mouvement des astres.

Cela provient du fait qu'en moyenne, la matière contient autant de charges positives que de charges négatives et donc, au-delà de l'échelle des inhomogénéités, leurs influences se compensent. Pour la gravitation, au contraire, les masses sont toutes de même « signe » (positif) et elles s’attirent au lieu de se repousser.

[modifier] Champ électrique créé par quelques distributions de charges

Les champs électriques peuvent rarement être calculés analytiquement par le calcul direct de la dernière formule mais peuvent toujours être calculés numériquement par l'informatique.

Lorsqu'il existe des symétries, on peut faire le calcul en appliquant le théorème de Gauss au champ électrique :

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée S est proportionnel à la somme des charges qui sont à l'intérieur de cette surface.

<math>

   \oint\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_i}{\varepsilon_0} 
   </math>

Voici quelques exemples de résultats de calcul pour des distributions de charges symétriques.

Fil rectiligne infini, pris suivant l'axe Oz de densité linéique de charge λ, à distance r du fil :

Pour un point M le plan passant par M et contenant l'axe Oz est un plan de symétrie et de même le plan passant par M et perpendiculaire à l'axe Oz est aussi un plan de symétrie;

on en déduit que le champ résultant n'a de composante que suivant <math>\vec{e_r} : \vec{E}(r,\theta,z)= E_r(r,\theta,z)\cdot \vec{e_r} </math>

Les invariances par translation suivant Oz et par rotation suivant θ permettent de déduire que le champ électrique résultant ne doit pas dépendre de ces variables et donc <math> : \vec{E}(r)= E_r(r)\cdot \vec{e_r}

   </math>

Si pour appliquer le théorème de Gauss, on choisit une surface cylindrique passant par M:

<math>

   \int\int_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \int\int_S E_r(r)\cdot \vec{e_r} \cdot dS\vec{e_r} =E_r(r)\cdot\int\int_S  \vec{e_r} \cdot dS\vec{e_r} =E_r(r)\cdot\int\int_S  dS = E_r(r)\cdot 2 \pi r \cdot dz =\frac{\lambda \cdot dz}{\varepsilon_0} 
   </math>

et on obtient finalement: <math>

   E_r(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}
   </math>

Plan infini, uniformément chargé en surface, de densité surfacique de charge σ, à distance r du plan :

<math>

   E(r)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
   </math>

La valeur du champ est constante dans tout l'espace.

Sphère creuse de diamètre R, uniformément chargée en surface, de densité surfacique de charges σ, à distance r du centre :

- à l'intérieur (r < R) : <math> E(r) = 0 \quad </math>
- à la surface (r = R) : <math> E(r) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} </math>
- à l'extérieur (r > R) : <math> E(r) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\frac{R^2}{r^2} </math>

Sphère pleine de diamètre R, uniformément chargée en volume, de densité volumique de charges ρ, à distance r du centre :

- à l'intérieur (r < R) : <math> E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}r </math>
- à la surface (r = R) : <math> E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}R </math>
- à l'extérieur (r > R) : <math> E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\frac{R^3}{r^2} </math>

Conséquence du théorème de Gauss, nous retrouvons à l'extérieur de la sphère un champ égal à celui d'une charge Q ponctuelle placée au centre de la sphère :

<math>

  E(r) = \frac{4\pi/3 \rho R^3}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}
  </math>

[modifier] Exemples de potentiels

Potentiel d'un fil fini :

<math>V(\rho)=\int_1^z\,dV=\frac{-\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\,ln\,z</math>

Potentiel d'un disque chargé :

<math>V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\int_0^R\,\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z^2}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,(\sqrt{R^2+z^2}-z)</math>

[modifier] Un fil fini : calcul direct du champ produit

Supposons que l'on a l'axe des x chargé sur un segment AB avec une densité de charge linéique λ et, un point M ( <math>x_M</math> , <math>y_M</math> ) dans le plan xOy où l'on veut déterminer le champ produit par les charges réparties sur AB.

Considérons un point P(x,0) et un intervalle dx de AB ayant une charge λdx. Cette charge crée un champ :

<math>\vec {E}(M)=\int_a^b\,d\vec{E}(M)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{\vec {PM}}{PM^3} dx =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\left(\frac{(x_M-x)\vec {i}+y_M\vec {j}}{\left((x_M-x)^2+y_M^2\right)^{3/2}}\right) dx </math>

<math>

=\left(\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{(x_M-x) dx}{\left((x_M-x)^2+y_M^2\right)^{3/2}} \right) \vec {i}+ \left(\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{y_M dx}{\left((x_M-x)^2+y_M^2\right)^{3/2}} \right)\vec {j} </math>

Il reste à faire les deux intégrales suivant x pour obtenir les composantes de :

En constatant que :

<math>\frac{(x_M-x)}{\left((x-x_M)^2+y_M^2\right)^{1/2}} = sin(\alpha) </math> et <math>\frac{y_M}{\left((x_M-x)^2+y_M^2\right)^{1/2}} = cos(\alpha)</math> on déduit :<math> \frac{(x_M-x)}{y_M} = tg(\alpha)</math> où α est l'angle HMP,

<math>

\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{(x_M-x)dx}{\left((x_M-x)^2+y_M^2\right)^{3/2}}

=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_a^b\,\frac{(x_M-x)dx}{r^{3}} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} sin(\alpha)d\alpha </math> facile à intégrer On a utilisé :<math> dx=\frac{y_M}{cos^2(\alpha)}d\alpha

</math> et :<math> \frac{1}{r^2}=\frac{cos^2(\alpha)}{y_M^2}

</math> et :<math> \frac{x_M-x}{r}=sin(\alpha) </math>

[modifier] distribution ayant des symétries et des invariances

Pour les distributions de charges ayant des symétries planaires, il est facile de déduire que pour un point M contenu dans le plan de symétrie, le champ résultant E(M) n'a de composantes que dans le plan de symétrie (les composantes perpendiculaires au plan de symétrie s'annullent deux à deux pour deux charges symétriques).

Exemple: Si on a une distribution sphérique de charge de centre O; alors tout plan passant par O et M est un plan de symétrie: conséquence le champ résultant est dans tous les plans contenant OM et donc <math>\vec E (r,\theta, \phi)= E_r(r,\theta, \phi) \vec e_r</math> puisque <math> E_{\theta}(r,\theta, \phi) =0</math> et <math> E_{\phi}(r,\theta, \phi) =0</math>

Pour des points M d'où l'on aperçoit la distribution de charge de façon identique, il est logique d'en déduire que le champ résultant sera le même; on dit que l'on a une invariance par la transformation qui fait passer de M en M' et conservant la distribution de charges. C'est le cas pour la distribution sphérique pour toute rotation suivant θ et φ et on en déduit que les composantes du champ ne dépendent pas de θ et φ:

<math>\vec E (r,\theta, \phi)= E_r(r,\theta, \phi) \vec e_r =E_r(r) \vec e_r </math>

Ce résultat simplifie beaucoup les calculs.

Autre exemple: cas d'une symétrie cylindrique

E <math>\vec E (r,\theta, \phi)= E_r(r,\theta,z) \vec e_r =E_r(r) \vec e_r </math>

en cas de symétrie cylindrique avec invariance par rotation suivant θ et par translation suivant Oz on obtient :

<math>\vec E (r,\theta, z)= E_r(r,\theta, z) \vec e_r =E_r(r) \vec e_r </math>

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

Image:Palais de la decouverte electrostatique 2 jnl.jpg

[modifier] Ouvrages d'introduction

Accessibles dés le premier cycle universitaire.

Richard P. Feynman ; Le cours de physique de Feynman, InterEditions (1979). Le grand théoricien de l'électrodynamique quantique, prix Nobel 1965, nous donne ici un superbe cours d'introduction à l'électromagnétisme classique. L'électrostatique est traitée dans le premier volume : Electromagnétisme I, ISBN 2-7296-0028-0. Réédité par Dunod, ISBN 2-10-004861-9.

[modifier] Ouvrages de références

Émile Durand ; Électrostatique, Masson (1953). Un traité monumental en trois volumes :
- Vol 1: Distributions
- Vol 2: Problèmes généraux & conducteurs
- Vol 3: Méthodes de calcul

John D. Jackson ; Électrodynamique classique - Cours et exercices d'électromagnétisme, Dunod (2001), ISBN 2-10-004411-7. Traduction française de la 3e édition du grand classique américain.

Wolfgang K. H. Panofsky et Melba Phillips ; Classical electricity and magnetism, Addison-Wesley (2ème édition-1962). Réédité par : Dover Publications, Inc. (2005), ISBN 0486439240. L'ouvrage de référence en électrodynamique classique avant la parution du Jackson